33.   Prove que se x₁, x₂, x₃, x₄, x₅ são positivos então

(x₁ + x₂ + x₃ + x₄ + x₅)² 4(x₁x₂ + x₂x₃ + x₃x₄ + x₄x₅ + x₅x₁)
 

34.   Se a_i > 1, então

.

Prove!
 

35.   Sejam 0 < < < + < , 0 < < 1, = 1 .  Prove que:

36.   Prove que o sistema de equações

não possui soluções reais.
 

37.  Construímos o círculo circunscrito ao triângulo retângulo Pitagórico 3, 4, 5. Determine o raio do círculo tangente aos catetos e tangente (internamente) ao círculo circunscrito (CRUX-Canadá).
 

38.  (Problema Físico) – Queremos medir o peso de uma  barra homogênea de seção retangular. Possuímos um peso de 100g, uma régua graduada, lápis e papel. Como devemos efetuar a medida sem destruir a barra? (Colaboração do Depto. De Física da UFV).

1 - Felipe Rogério Pimental de Belo Horizonte, MG, nos mandou a demonstração de que 
2 = 1. Descubra o erro:

“Considere A = B = 1. Sendo A = B, temos, multiplicando pro A: A² = AB. Então A² – B² = AB – B², donde, (A + B) (A – B) = B(A – B) e, simplificando, A + B = B, isto é, 1 + 1 = 1, ou seja, 2 = 1”
 

2 - Paulo A. da Mata Machado, de Alfenas, MG, enuncia e “demonstra” o seguinte teorema: “Todo triângulo é isósceles”.

“Demonstração”

ABC é um triângulo qualquer. Seja G a intersecção da bissetriz do ângulo com a mediatriz do lado BC.

Tracemos  e . Tem-se:

Logo, AD = AE (1) e DG = GE (2)

Tracemos GB e GC. Tem-se:

Logo DB = EC (3). E somando-se as igualdades (1) e (3), teremos:

AB = AC,             c.q.d.
 

3 - Antonio Carlos Motta de São Paulo, SP, escreveu: 

“Embora eu esteja certo de que meu relógio está adiantado 5 minutos, ele está, na realidade, com 10 minutos de atraso. Por outro lado, o relógio do meu amigo está realmente 5 minutos adiantado. Nós marcamos um encontro às 10 horas e cada um de nós planeja chegar pontualmente e em cima da hora. Quem chegará em primeiro lugar? Depois de quanto tempo chegará o outro?”

(Ver respostas na seção "Artesanato e matemática")

28 - São os dados 4 pontos no plano, cada ponto num dos lados de um retângulo. Construa o retângulo, conhecido o comprimento da sua diagonal.

Solução:

Podemos supor que os pontos dados A, B, C e D são, nesta ordem cíclica, vértices de um quadrilátero convexo. Caso contrário, dois dos pontos dados coincidem e são um vértice do retângulo solução o que trivializa o problema. Voltando ao caso em que ABCD é um quadrilátero convexo, por um ponto P qualquer do plano, tracemos os segmentos PC’ e PD’, respectivamente eqüipolentes a AC e BC. É claro que se P fosse um dos vértices do retângulo procurado, C’ e D’ pertenceriam aos 2 lados do retângulo (ou aos seus prolongamentos)

que não passam por P, logo o vértice oposto a P estaria na circunferência de diâmetro C’D’. Por outro lado, este vértice estaria também na circunferência de centro P e raio igual à diagonal dada. A intersecção de ambas (0,1 ou 2 pontos) seria o vértice Q oposto a P. A solução do problema é obtida pela translação deste retângulo de modo a passar por A, B, C e D. O problema admite, assim, duas, uma ou nenhuma solução.

A construção com régua e compasso se simplifica se o ponto P escolhido de início for a intersecção das diagonais AC e BC.

(resumo de diversas soluções)
 

29 - Prove que, para qualquer x  R  e  n  N*,

Solução:

Observamos que o discriminante de t = x² – 2x + 3, , logo os denominadores nunca se anulam e t > 0. Além disso, verificando que os vértices das parábolas   y = t – x   e 

(Solução enviada por Luis A. P. Alonso, Santos – SP)
 

NR: A solução acima pode evitar o uso da série geométrica, substituindo-o pelo cálculo da soma dos termos de uma PG:

  , < se q 0.

Solução:

Para que o enunciado faça sentido, suponhamos cos (x + y) 0 e cos x 0 (levando em conta a hipótese, basta exigir cos x 0). Ora, de 5 sen y = sen 2x cos y + sen y cos 2x e como 
(resumo de diversas soluções)

31    - Seja a_n o inteiro positivo mais próximo de   . Calcule a soma:

(resumo de diversas soluções)

32 - Sejam K e L pontos da hipérbole xy = 1, simétricos em relação à origem dos sistema hipérbole, ortogonalmente, sobre as retas MK e ML, obtendo assim os pontos P_K e P_L. Prove que OP_K = OP_L.

Solução:

podemos escrever as equações das retas MK: aby + x = a + b e ML: aby – x =        a – b. E, então, se P_K = (x_K, y_K) e P_L = (x_L, y_L) teremos, levando em conta que P_K está na reta MK e que PP_K é perpendicular a MK e analogamente para P_L:

Donde, tiramos:

  ;

;

;

.

Pelo que vimos acima podemos escrever:

 
(resumo de diversas soluções)