RPM 07 - Números pitagóricos

Números Pitagóricos: uma formula de fácil dedução e algumas aplicações geométricas (*)

Andréa Rothbart e Bruce Pausell
Califórnia State College
Bakersfield, California, USA

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Usando apenas Álgebra Elementar
será obtida uma fórmula que gera todos
os termos de números pitagóricos.

Um dos teoremas mais antigos e mais famosos da Matemática é o Teorema de Pitágoras que data de aproximadamente 500 a.C. e afirma que , onde a,b e c são, respectivamente os comprimentos de dois catetos e da hipotenusa de um triângulo retângulo. Segundo uma lenda, quando Pitágoras descobriu o teorema, ficou tão exultante que ordenou que bois fossem sacrificados aos deuses. Porém a descoberta posterior da irracionalidade de (**)[e sua conseqüência: o comprimento da hipotenusa de um triangulo retângulo isósceles com catetos de comprimento dado por um inteiro, não pode ser representado por uma razão de inteiros – perturbou imensamente Pitágoras e seus seguidores pois eles estavam profundamente convictos de que dois comprimentos quaisquer fossem sempre múltiplos inteiros de algum comprimento unitário. Tentativas foram feitas para esconder o conhecimento da irracionalidade de e conta-se que o homem que divulgou o segredo foi afogado no mar.

Três números inteiros positivos que satisfazem a equação são chamados números pitagóricos.

DEFINIÇÃO: O termo (a, b,c) chama-se terno pitagórico se e somente se a, b e c forem inteiros positivos tais que .

Por exemplo, (3, 4, 5) é um termo pitagórico pois enquanto (2, 3, 4) não é um termo pitagórico pois A designação de “pitagórico” talvez não seja muito apropriada pois há evidência de que os babilônios que viveram há mais de 1000 anos antes de Pitágoras conheciam um maior número de termos pitagóricos do que seus sucessores gregos(*)[2]. Em todo caso, os pitagóricos sabiam que qualquer terno da forma Seus alunos poderão, intuir esta fórmula examinando a lista abaixo de ternos pitagóricos:

a	b	c

3	4	5
5	12	13
7	24	25
9	40	41

A solução deste problema costuma ser encontrada em livros sobre Teoria dos Números e consiste em observar, inicialmente, que (a, b, c) é um terno pitagórico se e somente se para todo inteiro positivo k. (ka, kb, kc) for um terno pitagórico. (Observe que a² + b² = c²se e somente se, para todo número inteiro positivo k, (ka)² + (kb)² = (kc)²). Portanto é suficiente obter uma fórmula que gere aqueles ternos pitagóricos (a, b, c) cujos componentes a, b e c não possuem fator comum k > 1. Tais ternos se dizem primitivos. (Por exemplo, (3, 4, 5) é um terno pitagórico primitivo, enquanto (6, 8, 10) = (2 ^. 3, 2 ^. 4, 2 ^. 5) é não primitivo). A fórmula mais comum para gerar ternos pitagóricos primitivos é dada pelo seguinte teorema:

TEOREMA: (a, b, c) é um terno pitagórico primitivo se e somente se existirem inteiros positivos u e v, u > v, u e v primos entre si e não ambos ímpares, tais que
(a, b, c) = (u² – v², 2uv, u² + v²).

(Por exemplo, u = 3, v = 2, dá o terno pitagórico primitivo (9 – 4, 2 ^. 3 ^. 2, 9 + 4 = (5, 12, 13)).

A demonstração deste teorema requer o uso de propriedades da decomposição de números em fatores primos. O objetivo principal deste artigo é apresentar uma outra fórmula que gera todos os ternos pitagóricos, não apenas os primitivos. O leitor verá que esta nova fórmula é de fácil dedução e sugere um método para resolver alguns problemas de Geometria.

TEOREMA: (a, b, c) é um terno pitagórico se e somente se existirem inteiros positivos u e v, u > v, de igual paridade, tais que u ^. v seja um quadrado perfeito e .
Isto é, o teorema afirma que se considerarmos todos os pares de inteiros positivos u e v cujo produto seja um quadrado perfeitos (onde u e v têm a mesma paridade e u > v) e se, para cada

A demonstração deste teorema requer apenas noções elementares de Álgebra.

Demonstração. Suponhamos que (a, b, c) seja um terno pitagórico. Então a² + b² = c², de modo que a² = c² – b² = (c + b) (c – b). Sejam u = c + b e v = c – b. Então:

1. u ^. v é um quadrado perfeito.

2. u e v são inteiros positivos de mesma paridade pois b e c são inteiros positivos e c > b.

3. u > b pois c + b > c – b.

4. De u = c + b e v = c – b, tirando os valores de c e b em função de u e v, temos

Reciprocamente, suponhamos que u e v sejam inteiros positivos de mesma paridade,

1. a é um inteiro positivo pois u ^. v é um quadrado perfeito.

2. b e c são inteiros positivos pois u – v e u + v são ambos pares (lembre-se que u e v têm a mesma paridade e u > v).

mesmo que u e v não sejam primos entre si. (Por exemplo, u = 8 e v = 2).

Apresentaremos agora duas aplicações geométricas desta fórmula. Considere o problema de achar todos os triângulos pitagóricos (triângulos retângulos cujos lados têm comprimentos dados por números inteiros) com um cateto dado. Por exemplo:

Problema 1. Determine todos os triângulos pitagóricos que têm um cateto a = 12.

1. Inicialmente fatoramos a², de todos os modos possíveis, como produto de dois inteiros positivos u e v distintos e de mesma paridade. Assim, a² = 144 = 72 x 2 = 36 x 4 = 24 x 6 =18 x 8.

2. Para cada produto, seja u o fator maior e v o menor e calculemos b e c pelas fórmulas:

u = 72 e v = 2	temos	b = 35 e c = 37
u = 36 e v = 4	temos	b = 16 e c = 20
u = 24 e v = 6	temos	b = 9 e c = 15
u = 18 e v = 8	temos	b = 5 e c = 13

Portanto, existem exatamente 4 triângulos pitagóricos com um cateto de comprimento 12. Os comprimentos dos lados destes triângulos são dados por (12, 35, 37), (12, 16, 20), (12, 9, 15) e (12, 5, 13).

Observe que para qualquer inteiro a > 2, a² pode ser escrito como um produto de dois inteiros positivos distintos, u e v, de mesma paridade. (Se a for ímpar, fazemos u = a² e

Assim, dado um inteiro qualquer a > 2, existe pelo menos um triângulo pitagórico com um cateto de comprimento a. E o processo descrito acima dará todos os triângulos com estas características.

Esta fórmula também é útil na construção, com régua e compasso, de um segmento de comprimento onde n é um inteiro positivo maior do que 2. Por exemplo:

Problema 2. Usando régua e compasso, construa um segmento de comprimento .

1 - Escreva n = 24 como um produto u e v onde u e v são inteiros positivos distintos, de mesma paridade. Por exemplo, podemos fazer u = 6 e v = 4.

3 - Usando régua e compasso, desenhe duas retas perpendiculares e . Chame de B o ponto de intersecção. (Veja a figura)

4 - Escolha uma unidade de comprimento. Em marque um segmento BA de comprimento b, neste caso, de comprimento 1.

5 - Com a ponta do compasso em A e abertura c, neste caso 5, desenhe um arco e chame de C um dos pontos onde o arco intercepta .

Sendo ABC um triângulo retângulo, AB = 1 e AC = 5, segue-se que

Bibliografia

BARNETT, I.A., Elementos of Number Theory. Boston: Prindle, Weber & Schmidt, 1969.

SHANKS, D., Solved and Unsolved Problems in Number Theory. Vol. 1 Washington, D.C.: Spartan Books, 1962.

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(**)[Publicado no “The Mathematics Teacher” vol. 67, n.º 3, Março de 1974. Traduzido com permissão do “The National Council of Teachers of Mathematics”

(*)[2N.T. Veja “Episódios da Historia Antiga da Matemática” pg. 38, uma publicação da SBM.