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________________________________ Um
dos teoremas mais antigos e mais famosos
da Matemática é o Teorema de Pitágoras que data de aproximadamente 500
a.C. e afirma que
Três
números inteiros positivos que satisfazem a equação
DEFINIÇÃO:
O termo (a, b,c) chama-se terno pitagórico se e somente se a, b e c
forem inteiros positivos tais que
Por
exemplo, (3, 4, 5) é um termo pitagórico pois
A
solução deste problema costuma ser encontrada em livros sobre Teoria dos
Números e consiste em observar, inicialmente, que (a, b, c) é um terno
pitagórico se e somente se para todo inteiro positivo k. (ka, kb, kc) for
um terno pitagórico. (Observe que a2 + b2 = c2
se e somente se, para todo número inteiro positivo k, (ka)2
+ (kb)2 = (kc)2). Portanto é suficiente obter uma fórmula
que gere aqueles ternos pitagóricos (a, b, c) cujos componentes a, b e c
não possuem fator comum k > 1. Tais ternos se dizem primitivos.
(Por exemplo, (3, 4, 5) é um terno pitagórico primitivo, enquanto (6, 8,
10) = (2 . 3, 2 . 4, 2 . 5) é não
primitivo). A fórmula mais comum para gerar ternos pitagóricos
primitivos é dada pelo seguinte teorema: TEOREMA:
(a, b, c) é um terno pitagórico primitivo se e somente se existirem
inteiros positivos u e v, u > v, u e v primos entre si e não ambos ímpares,
tais que (Por
exemplo, u = 3, v = 2, dá o terno pitagórico primitivo (9 – 4, 2 .
3 . 2, 9 + 4 = (5, 12, 13)). A
demonstração deste teorema requer o uso de propriedades da decomposição
de números em fatores primos. O objetivo principal deste artigo é
apresentar uma outra fórmula que gera todos os ternos pitagóricos, não
apenas os primitivos. O leitor verá que esta nova fórmula é de fácil
dedução e sugere um método para resolver alguns problemas de Geometria.
TEOREMA:
(a, b, c) é um terno pitagórico se e somente se existirem inteiros
positivos u e v, u > v, de igual paridade, tais que u . v
seja um quadrado perfeito e
A
demonstração deste teorema requer apenas noções elementares de Álgebra.
Demonstração.
Suponhamos que (a, b, c) seja um terno pitagórico. Então a2 +
b2 = c2, de modo que a2 = c2
– b2 = (c + b) (c – b). Sejam u = c + b e v = c – b. Então:
1.
u . v é um quadrado perfeito. 2.
u e v são inteiros positivos de mesma paridade pois b e c são
inteiros positivos e c > b. 3.
u > b pois c + b > c – b. 4.
De u = c + b e v = c – b, tirando os valores de c e b em função
de u e v, temos
Reciprocamente,
suponhamos que u e v sejam inteiros positivos de mesma paridade,
1.
a é um inteiro positivo pois u . v é um quadrado
perfeito. 2.
b e c são inteiros positivos pois u – v e u + v são ambos pares
(lembre-se que u e v têm a mesma paridade e u > v).
Apresentaremos
agora duas aplicações geométricas desta fórmula. Considere o problema
de achar todos os triângulos pitagóricos (triângulos retângulos cujos
lados têm comprimentos dados por números inteiros) com um cateto dado.
Por exemplo: Problema
1. Determine todos os triângulos pitagóricos que têm um cateto a =
12. 1. Inicialmente fatoramos a2, de todos os modos possíveis,
como produto de dois inteiros positivos u e v distintos e de mesma
paridade. Assim, a2 = 144 = 72
x
2 = 36
x
4 = 24
x
6 =18 x
8. 2. Para cada produto, seja u o fator maior e v o menor e calculemos b
e c pelas fórmulas:
Portanto,
existem exatamente 4 triângulos pitagóricos com um cateto de comprimento
12. Os comprimentos dos lados destes triângulos são dados por (12, 35,
37), (12, 16, 20), (12, 9, 15) e (12, 5, 13). Observe que para qualquer inteiro a > 2, a2 pode ser escrito como um produto de dois inteiros positivos distintos, u e v, de mesma paridade. (Se a for ímpar, fazemos u = a2 e ![]() Assim,
dado um inteiro qualquer a > 2, existe pelo menos um triângulo pitagórico
com um cateto de comprimento a. E o processo descrito acima dará todos os
triângulos com estas características. Esta
fórmula também é útil na construção, com régua e compasso, de um
segmento de comprimento
Problema
2. Usando régua e
compasso, construa um segmento de comprimento
1
- Escreva n = 24 como um produto u e v onde u e v são inteiros positivos
distintos, de mesma paridade. Por exemplo, podemos fazer u = 6 e v = 4.
3
- Usando régua e compasso, desenhe duas retas perpendiculares
4
- Escolha uma unidade de comprimento. Em
5
- Com a ponta do compasso em A e abertura c, neste caso 5, desenhe um arco
e chame de C um dos pontos onde o arco intercepta
Sendo
ABC um triângulo retângulo, AB = 1 e AC = 5, segue-se que
Bibliografia
BARNETT,
I.A., Elementos of Number Theory. Boston: Prindle, Weber &
Schmidt, 1969. SHANKS, D., Solved and Unsolved Problems in Number Theory. Vol. 1 Washington, D.C.: Spartan Books, 1962.
_____________________ (*)[2N.T. Veja “Episódios da Historia Antiga da Matemática” pg. 38, uma publicação da SBM.
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