A Menaecmus, por volta de 350 a.C., discípulo e sucessor do matemático Eudoxo na direção da Escola de Cizico (Ásia Menor), atribui-se a invenção das curvas elipse, parábola e hipérbole, por ele construídas mecanicamente e utilizadas na resolução do clássico problema da duplicação do cubo (problema de Delos). Mas foi Apolônio (III séc. a.C.) quem extraiu essas curvas de uma superfície cônica mediante seções planas, daí a denominação comum de seções cônicas. Os nomes elipse, parábola e hipérbole foram mesmo usados por Apolônio que os tirou de uma terminologia pitagórica (VI séc. a.C.) específica para áreas.

Assim, quando os pitagóricos faziam a base de um retângulo ficar sobre um segmento retilíneo de modo que uma extremidade dessa base coincidisse com uma das extremidades do segmento, diziam que tinham um caso de elipse, parábola ou hipérbole conforme a referida base fosse menor do que o segmento, com ele coincidisse ou o excedesse. E observamos que a razão dessas designações está na própria significação  dos termos, pois elipse quer dizer falta, parábola corresponde a igual e hipérbole exprime excesso.

Vejamos agora o fato em relação às curvas em questão. Para isso consideremos uma cônica de vértice A, eixo principal AB e parâmetro p (p é o comprimento da corda perpendicular ao eixo principal por um foco da cônica).

Seja P um ponto qualquer da curva e Q sua projeção ortogonal sobre AB. Pelo vértice A tracemos uma reta perpendicular a AB sobre a qual tomamos AD = p. A seguir, construamos um retângulo de base AQ, situada sobre a reta AB, e lado AE sobre AD de modo que a sua área seja  . Conforme AE < AD, AE = AD ou AE > AD, Apolônio denominou a cônica de elipse, parábola ou hipérbole. Em outros termos, se considerarmos a curva referida a  um sistema cartesiano de eixos coordenados  com eixo dos x (abcissas) sobre AB e eixo dos y (ordenadas) sobre AD e se designarmos as coordenadas de P por x e y, a curva será um elipse se y² < px, uma parábola se y² = px e uma hipérbole se y² > px. Realmente, pela Geometria Analítica, sabemos que no caso de uma elipse e de uma hipérbole se tem:

onde d é o comprimento do eixo principal da curva que passa pelo vértice A. E é de fatos geométricos equivalentes a essas equações cartesianas que Apolônio deduz todo o corpo da geometria das seções cônicas.

Bibliografia

BOYER, C.B. Historia da Matemática. Tradução de Elza F. Gomide, Ed. Edgard Blücher Ltda., São Paulo (1974), pág. 108.

EVES, H. – An Introduction to the History of Mathematic. Ed. Holt. Rinheart and Wiinston, 3ª edição, pág. 150.

Para mostrar mais uma aplicação do Binômio de Newton, bem como uma maneira simples de calcular a soma das p-ésimas potencias, com p N*, dos primeiros números naturais maiores do que zero, apresentamos este artigo.

Primeiramente, vejamos como calcular 1 + 2 + 3 + ... + n, usando o referido binômio. Conquanto para obtenção deste resultado, relativo a p = 1, o método descrito na RPM n.º 4, pág. 1 seja mais simples, o processo aqui descrito é o primeiro passo para uma generalização.

Consideremos as seguintes potências de expoente 2:

Na soma, membro a membro, (1+1)² cancela 2², (2+1)² cancela 3², e assim sucessivamente.

Observemos, agora, como calcular

Consideremos, desta vez as seguintes potências de expoente 3:

(1+1)³ = 1³ + 3 . 1².1+3.1.1²+1³

(2+1)³ = 2³ + 3.2².1+3.2.1²+1³

(3+1)³=3³+3.3².1+3.3.1²+1²

..................................................

(n+1)³=n³+3.n².1+3.n.1²+1³

________________________________

(n + 1)³ = 1 +  3.(1² + 2² + 3² +...+ n²) + 3.(1+2+3+...+n) +n

Na soma, membro a membro (1+1)³ cancela 2³, (2+1)³ cancela 3³, e assim sucessivamente.

Seguindo o mesmo procedimento, e utilizando o Binômio de Newton, elevando agora cada soma do tipo 1+2, 2+1,..., n+1 à quarta potência, podemos deduzir a formula da soma dos cubos dos n primeiros números naturais maiores do que zero, recorrendo, entretanto,   

Acompanhando esse raciocínio, teremos condições de calcular a soma das p-ésimas potências dos n primeiros números naturais maiores do que zero, ou seja, podemos deduzir uma formula para calcular.

1^p+2^p+3^p+…+n^p, p N*

Conforme já vimos, sempre teremos que recorrer às formulas obtidas para os expoentes menores do que os considerados, no caso, menores do que p.