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Responsáveis Envie suas soluções para
Problemas 291. O grande artilheiro Carlos Gustavo mantém uma contagem g(n) de gols bem-sucedidos dentre os n chutes a gol que fez até determinado momento numa temporada. Em certo momento, no início da temporada, g(n) era menor do que 80% dos n chutes a gol feitos até então; já no final, esse número g(n) era maior do que 80% de n. Houve algum momento durante a temporada em que g(n) era exatamente igual a 80% dos n chutes a gol até então feitos? E o que acontece se trocarmos 80% por 81%? 292. A sequência de Fibonacci Fn é definida por
Os primeiros termos desta sequência são, portanto, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ... Mostre que, para todo n natural, tem-se
onde o coeficiente binomial é definido como zero se o denominador ultrapassa o numerador. Por exemplo, para n = 4 temos
293. Simplique
Dica: considere a expressão 294. Se x, y, z são reais positivos, mostre que xy(x + y) + yz(y + z) + xz(x + z) > 6xyz. (Proposto por Antonio Matos dos Santos, PR.) 295. A base de uma pirâmide é um hexágono regular e a projeção vertical do vértice da pirâmide é o centro da base. O centro da esfera circunscrita à pirâmide está na superfície da esfera inscrita. Encontre a razão entre os raios dessas duas esferas.
1. Os estudantes que constituem uma comissão de formatura reuniramse numa sala para discutirem formas de angariar dinheiro para as festas de final de curso. Sentaram em círculo, porque assim todos podiam ser bem vistos por todos. O número de companheiras que cada rapaz conseguia ver era o triplo do número de companheiros que ele via, e o número de companheiras que cada moça conseguia ver era o dobro do número de companheiros que ela via. Quantos estudantes compõem essa comissão? 2. Encontre um número natural maior que 100 cujo quadrado, ao ser dividido por 3, deixa resto 2. 3. Num certo país, uma lei federal sobre o sistema prisional garante aos presos o seguinte: "Todo prisioneiro terá um dia diminuído na sua pena para cada três dias de trabalho". Sabendo que um réu foi condenado a uma pena de 15 anos e que ele trabalhará todos os dias em que permanecer na prisão, sua pena acabará se reduzindo para quanto tempo? (Tirados do livro Para gostar de Matemática, vol. 2, de autoria de Chico Nery.)
281. Simplifique:
Solução Temos Por um lado, temos Por outro lado, se g(n) = n2 − n + 1, temos que g(n + 1) = (n + 1)2 − (n + 1) + 1 = n2 + n + 1 e assim
De (1) e (2), concluímos que
(Solução adaptada das enviadas por diversos leitores.) 282. Prove que, se x e y são inteiros tais que N = (x + 6y)(2x + 5y)(3x + 4y) é múltiplo de 7, então N é múltiplo de 343. Solução Observe inicialmente que, sendo 7 um número primo que divide N, então necessariamente ele deve dividir algum dos fatores inteiros (x + 6y), (2x + 5y) ou (3x + 4y). Mas então observe as relações abaixo:
Se algum dos fatores for múltiplo de 7, elas implicam que os outros também são, portanto N é divisível por 73 = 343. (Solução enviada por Evandro Makiyama de Melo, SP.) 283. Num plano são dadas três circunferências de raios distintos entre si e cujos interiores são dois a dois disjuntos. Mostre que os três pontos de intersecção das tangentes externas dos três pares de circunferências são colineares. Solução Sejam A, B e C os centros das circunferências de raios r, r' e r" respectivamente. Os pontos M, N e P, pontos de encontro das tangentes externas, indicados na figura a seguir, chamados de "centros de semelhança direta", se tomados dois a dois nos dão as relações:
Multiplicando-se membro a membro, temos Temos no numerador três segmentos que não possuem extremidades comuns e no denominador outros três não consecutivos. Podemos então concluir que os pontos M, N e P estão alinhados, utilizando o teorema de Menelaus no ΔABC [Enunciado: Considere um triângulo ABC e sobre seus lados BC, CA e AB (ou prolongamentos deles) os pontos D, E e F, respectivamente. Então, D, E e F são colineares se, e somente se, (AF/FB)(BD/ DC)(CE/EA) = 1.]. (Solução enviada por Milton Dini Maciel, SP.)
Solução Suponhamos que exista um ângulo A Assim, o ΔDOC tem dois ângulos retos, o que é um absurdo. (Solução enviada por João Fernandes de Moura, RJ.) 285. Seja w a raiz quinta da unidade a) Mostre que, para n inteiro,
b) Mostre que, para n inteiro positivo, a quantidade de subconjuntos de {1, 2, 3, ..., n} com número de elementos igual a um múltiplo de 5 é igual a:
Solução a) Temos, pela fórmula de Moivre, 1 + wn + w2n + w3n + w4n = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5. Se n não é múltiplo de 5, temos wn ≠ 1 e, usando a fórmula da soma dos termos na PG de razão wn e termo inicial 1, temos
b) A quantidade de subconjuntos de {1, 2, ..., n} cujo número de elementos é um múltiplo de 5 é igual a menor ou igual a
Pelo item a), essa última soma é igual a 5S. Logo, Para concluir, observe que 1+ w =1+ w =1+ w4 e que
onde Re(z) denota a parte real de z. Mas
Portanto, Substituindo, vem (Solução adaptada das enviadas por Evandro Makiyawa de Melo, SP e Milton Dini Maciel, SP.)
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Respostas no final desta página
284.
B com AO = BO, dividimos 
O é reto. No ΔCOB, a ceviana OD é mediana e bissetriz; logo, é também a altura e o ângulo O
C é reto. 
. 
, sendo 
o maior inteiro 
. Por outro lado, temos, pela fórmula do binômio de Newton: 2n + (1 + w)n + (1 + w
= 1 + w
, usando a fórmula de Moivre. Da mesma forma, 
. 
que surpreendentemente é sempre um inteiro.