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Algumas possibildades do software Cabri 3D para o estudo da Geometria Espacial Ana Paula Jahn
A maioria dos professores de Matemática concorda em dizer que a Geometria Espacial é um tema difícil de ser ensinado. Por sua vez, a maioria dos alunos do ensino médio também concorda em dizer que essa Geometria 3D é um tema difícil de ser aprendido. Por que tanta dificuldade no ensino e aprendizagem desse tema? Uma das principais razões está relacionada à questão da representação figural dos objetos tridimensionais no plano. De fato, um objeto representado no papel não corresponde à formação da imagem mental que se tem do objeto. Por exemplo, sabemos que todas as faces de um cubo são quadradas, mas representamos algumas de suas faces por paralelogramos. Sabemos que a base de um cone circular é um círculo, mas a representamos por uma elipse. Retas reversas não se intersectam, mas as suas representações no plano são retas concorrentes ou paralelas. As faces de uma pirâmide triangular estão em 4 planos distintos, mas numa folha de papel são representadas num único plano. Portanto, há um conflito entre o que é visto no espaço e o que é representado em um suporte bidimensional. Em geral, há perda de informações quando se passa de um objeto tridimensional para sua representação bidimensional. Uma outra razão para as dificuldades dos alunos é a fraca experiência que geralmente têm no ensino básico com a manipulação de objetos sólidos e maquetes e com a exploração de situações espaciais. Diversos trabalhos mostram que essa capacidade de elaborar e interpretar uma representação gráfica − chamada de habilidade espacial ou de visualização espacial − pode (e deve) ser estimulada. Surge então uma questão: como desenvolver a visualização espacial? Uma alternativa apontada por várias pesquisas é o professor propiciar inúmeras situações envolvendo materiais concretos e manipulações. Uma outra que começa a ser investigada é a utilização de representações dinâmicas em ambientes informáticos. Em setembro de 2004, no Congresso Internacional Cabriworld, realizado em Roma, foi lançado o Cabri 3D, um software de Geometria Dinâmica 3D. Esse software, além de preservar as propriedades de objetos geométricos tridimensionais quando manipulados, permite também mudar o ponto de vista em relação ao objeto representado. É possível olhar o sólido de cima, de lado, de frente, de baixo ou de qualquer ponto de vista, em diversos sistemas de representação. Além dessa grande vantagem, o Cabri 3D é um software de manipulação direta em três dimensões; isso significa que o usuário age diretamente sobre a representação gráfica dos objetos que estão na tela, em vez de agir sobre a sua representação interna (o código). Apresentamos, a seguir, algumas atividades representativas das inúmeras possibilidades que esse software oferece no estudo de problemas espaciais. O problema abaixo foi extraído do artigo do professor Geraldo Ávila, proposto na RPM 3, p. 25.
A construção do referido sólido no Cabri 3D representa uma atividade interessante, em particular para a obtenção da pirâmide de base quadrada. Essa construção pressupõe a determinação da altura dessa pirâmide e, para tal, o aluno pode ser auxiliado pelos recursos do software, evoluindo de verificações experimentais à dedução de que a altura da referida pirâmide é igual à metade da diagonal do quadrado da base. Além disso, o sólido visto sob diferentes pontos de vista acaba auxiliando a percepção dos alunos, e permite conjecturar que o número de faces é 5, e não 7 como pensa a maioria dos alunos, segundo o que é relatado no artigo mencionado.
O mesmo tipo de exploração pode ser feita na situação que segue.
O aluno inicia com a construção do sólido e dispõe assim de uma figura que pode ser explorada e observada sob diferentes pontos de vista, preservando suas propriedades. Depois da manipulação, é provável que adquira a convicção de que as retas são concorrentes, podendo inclusive solicitar a intersecção com a ferramenta do software. Essa etapa pode preceder a fase dedutiva. Esta, por sua vez, também pode ser subsidiada pelos recursos do Cabri 3D, no sentido de se identificarem propriedades envolvidas na situação (paralelismo, relações métricas, etc.). A figura pode ser "incrementada" de forma a apoiar a visualização e o raciocínio dos alunos (ilustração abaixo).
As medidas dos lados do polígono podem sugerir a sua natureza. A vista inferior sugere a configuração do teorema dos pontos médios do triângulo. A identificação desses diferentes elementos constituem a base para a elaboração da resposta e de sua justificativa: como M e N são pontos médios dos lados AB e AD, do triângulo ABD, então MN//BD e MN = BD/2 e, como S e R são pontos médios dos lados BC e CD do ΔBCD, então SR//BD e SR = BD/2. Logo, MN//RS e MN = RS. Isso mostra que MNRS é um paralelogramo e, consequentemente, que as diagonais SN e MR se intersectam num ponto. O ambiente também proporciona condições favoráveis para o estudo de poliedros regulares e arquimedianos. A construção desse tipo de sólido insere-se em um processo de articulação entre elementos do plano e do espaço. Vamos ilustrar esse tipo de resolução com a atividade de construção do icosaedro truncado – ou da estrutura de uma "bola de futebol" – a partir de um icosaedro regular.
Referências bibliográficas ÁVILA, G. Geometria e imaginação. RPM 3, p. 25-28.
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