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Lenimar Nunes de Andrade
Decomposição de retângulos A decomposição de retângulos em quadrados de diferentes tamanhos é um curioso problema de Matemática recreativa que vem chamando a atenção há várias décadas. O problema foi, inclusive, uma das questões da prova da 2ª fase da OBMEP − Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas (1ª edição), em 2005.
Quem primeiro decompôs um retângulo em quadrados desiguais foi Z. Morón, em 1925.
O método algébrico Algumas decomposições simples podem ser realizadas utilizando-se apenas lápis, papel e operações algébricas elementares. Decomposições mais complexas, em geral, são realizadas utilizando-se computadores.
Escolhemos dois quadrados quaisquer do esboço e atribuímos às medidas dos seus lados as variáveis x e y (figura 2). A partir desses quadrados, vamos calculando os lados dos quadrados vizinhos. Todas as operações realizadas são adições ou subtrações de números inteiros. O quadrado que está logo acima dos de lados x e y tem lados medindo x + y. O quadrado pequeno de lado a, que está logo abaixo do de lado x, tem lado medindo a = y − x. O lado do quadrado que está na parte inferior e mais à direita do esboço é a + y = (y − x) + y = 2y − x. Somando 2y − x com a, obtemos o lado do quadrado vizinho, situado à sua esquerda: a + (2y − x) = (y − x) + (2y − x) = 3y − 2x. O segmento CD, no centro do esboço, mede b + x e também (3y − 2x) + a = 3y − 2x + y − x = 4y − 3x. Logo, devemos ter b = (4y − 3x) − x = 4y − 4x. A partir desse valor, somando b com o lado do quadrado abaixo dele, obtemos o lado do quadrado que está à sua esquerda e na parte de baixo do esboço: b + (3y − 2x) = (4y − 4x) + (3y − 2x) = 7y − 6x. Finalmente, somando o lado desse quadrado com b, obtemos o lado do quadrado que está na parte de cima e à esquerda no esboço: (7y − 6x) + b = (7y − 6x) + (4y − 4x) = 11y − 10x.
Uma forma de denotar a decomposição em quadrados Uma simples notação pode ser utilizada para denotar esse tipo de decomposição de um retângulo em quadrados: • Agrupamos os lados de quadrados adjacentes (vizinhos) colineares. Por exemplo, na figura 3, a decomposição pode ser denotada por [18, 15], [7, 8], [14, 4], [10, 1], [9].
Outro exemplo Consideremos o esboço de decomposição mostrado na figura 4. Escolhendo dois quadrados com lados x e y, calculamos os lados de todos os seus vizinhos: x + y, x + 2y, 2x + y, 3x + y, x + 3y, 3y − 3x, 5x + 2y, 6y − 2x e 9y − 5x. Calculando o comprimento da base do retângulo de duas maneiras, obtemos a equação: (9y − 5x) + (6y − 2x) = (5x + 2y) + (2x + y) + (x + y) + (x + 2y), que é equivalente a 9y = 16x. Dessa forma, uma possível solução é x = 9 e y = 16. Obtemos assim a decomposição de um retângulo 177 × 176, que pode ser denotada da seguinte forma: [99, 78], [21, 57], [77, 43], [16, 41], [34, 9], [25]. Essa decomposição é a que foi mostrada na figura 1.
Decomposição impossível Nem sempre é possível a decomposição em quadrados prevista em algum diagrama. Por exemplo: no diagrama da figura 5, temos (x + y) + y = (2x + y) + (3x + 2y), o que implica x = 0. Ou seja, não é possível obter quadrado de lado x no diagrama.
Decomposição de quadrados Se, em vez de um retângulo, tivermos um quadrado decomposto em vários quadrados desiguais, então temos um difícil problema de decomposição que foi resolvido pela primeira vez em 1939. Nessa ocasião, foi obtida uma decomposição de ordem 55. Em 1978, A. J. W. Duijvestijn obteve uma decomposição de ordem 21 de um quadrado medindo 112 × 112 (figura 6). Sabe-se hoje que essa decomposição de Duijvestijn é mínima, ou seja, é impossível obter decomposição perfeita de um quadrado de ordem menor do que 21. Sua representação é: [50, 35, 27], [8, 19], [15, 17, 11], [6, 24], [29, 25, 9, 2], [7, 18], [16], [42], [4, 37], [33]. Hoje em dia, graças ao uso de computadores, são conhecidas milhares de decomposições perfeitas de quadrados. No início do século XX, entretanto, pensava-se que esse tipo de decomposição era impossível.
Bibliografia [1] WELLS, D. Dicionário de Geometria Curiosa. Série O Prazer da Matemática. Lisboa: Gradiva, 1998. |
Dado um retângulo cujos lados têm medidas inteiras, queremos saber se é possível fragmentá-lo em quadrados com lados de medidas inteiras, duas a duas distintas. Nesse caso, o que se tem é uma decomposição perfeita do retângulo. Na figura 1 temos uma decomposição perfeita de um retângulo medindo 177 × 176 em 11 quadrados de lados 9, 16, 21, 25, 34, 41, 43, 57, 77, 78 e 99. O total de quadrados utilizados é chamado ordem da decomposição (11, no caso do exemplo). 
Primeiramente, imaginamos um esboço do retângulo que queremos decompor. Esse esboço é escolhido por tentativas, de modo aleatório. Sempre supomos decomposição em quadrados, mesmo que os polígonos do esboço não pareçam quadrados. 
Calculando a altura do retângulo usando os dois quadrados à esquerda do esboço: (11y − 10x) + (7y − 6x) = 18y − 16x. Usando os três quadrados à direita do esboço: 
