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Diretora Acadêmica da OBMEP
UFF

Selecionamos três questões da 1ª fase da Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas de 2008, devido à grande repercussão que elas tiveram entre alunos e professores.

A primeira questão, que estava presente nas provas dos três níveis, é um problema de lógica matemática. Aqui, a leitura atenta e bem-interpretada do enunciado por parte dos alunos é fundamental para que seja possível encontrar a solução. O enunciado é o seguinte:

Ari, Bruna e Carlos almoçam juntos todos os dias e cada um deles pede água ou suco.

• Se Ari pede a mesma bebida que Carlos, então Bruna pede água.

• Se Ari pede uma bebida diferente da de Bruna, então Carlos pede suco.

• Se Bruna pede uma bebida diferente da de Carlos, então Ari pede água.

• Apenas um deles sempre pede a mesma bebida.

Quem pede sempre a mesma bebida e que bebida é essa?

(A) Ari; água
(B) Bruna; água
(C) Carlos; suco
(D) Ari; suco
(E) Bruna; suco

Na solução dessa questão, analisamos, inicialmente, o total de possibilidades para cada uma das três pessoas, sendo que a princípio todas podem beber água ou suco. Logo, há 2 × 2 × 2 = 8 possibilidades para considerar, conforme a tabela.

A partir daí, iremos analisar as condições do problema para decidir qual das possibilidades é a correta. A primeira condição (se Ari pede a mesma bebida que Carlos, então Bruna pede água) elimina as possibilidades 3 e 8. A segunda condição (se Ari pede uma bebida diferente da de Bruna, então Carlos pede suco) elimina a possibilidade 2. A terceira condição (se Bruna pede uma bebida diferente da de Carlos, então Ari pede água) elimina as possibilidades 4 e 6. Até o momento, restam as possibilidades 1, 5 e 7 e, como apenas um deles pede sempre a mesma bebida, chegamos a Ari, que sempre pede água. Logo, a alternativa correta é a letra (A).

A segunda questão, aplicada na prova do nível 2, trata de Geometria, assunto que tem sido muito sacrificado, quando não completamente omitido das nossas salas de aula. O pouco, ou quase nenhum, tempo dedicado à Geometria em muitas escolas tem como consequência o baixo desempenho de nossos alunos em questões sobre o assunto, mesmo naquelas que só envolvem conhecimentos absolutamente elementares de Geometria. É comum nas provas da OBMEP os alunos confundirem perímetro com área ou, mesmo ainda, ignorarem o significado da palavra "perímetro".

Nessa questão foram utilizados conceitos como área de quadrados, medidas de segmentos e a resolução de um sistema simples de equações do 1o grau. Dobrando-se folhas quadradas ou retangulares ao longo de quadrados ou de retângulos, variando os comprimentos dessas figuras para calcular a "área cinza", essa questão pode inspirar várias atividades em sala de aula. O enunciado é:

Numa folha quadrada de papel de 30 cm de lado, branca de um lado e cinza do outro, marcou-se um quadrado ABCD em linhas pontilhadas, como na figura 1. A folha foi dobrada ao longo das linhas pontilhadas e o resultado está mostrado na figura 2, onde a parte cinza é um quadrado de área 144 cm2. Qual é o comprimento do segmento PA?

     (A) 21cm         (B) 22 cm         (C) 23 cm         (D) 24 cm         (E) 25 cm

Solução

Considere x e y como sendo as medidas (em centímetros) de PA e PD, respectivamente. Vemos então que x + y = 30 e que o lado do quadrado central da folha dobrada é x − y. Como a área desse quadrado é 144 cm2, segue que seu lado mede 12 cm, ou seja, x − y = 12. Dessas duas equações segue que x = 21. Desse modo, a solução é a letra (A).

A última questão que apresentamos constava da prova do nível 3, e trata de probabilidade, tópico que tem sido tratado com muita dificuldade nas escolas. Uma dessas dificuldades é saber distinguir entre eventos disjuntos e eventos independentes. Por outro lado, no ensino médio, o ensino de Probabilidade tem se restringido a uma aplicação de Combinatória, tópico também pouco conhecido dos alunos.

O professor Paulo Cezar Pinto de Carvalho, pesquisador do IMPA e autor de livro sobre probabilidade, aponta a importância do ensino desse tópico nas escolas: "Modelos de natureza probabilística são cada vez mais usados no mundo atual, em todas as atividades humanas. Apesar disso, a maioria das pessoas tem dificuldade para lidar com esse tipo de modelo (por exemplo, se indagadas sobre qual das combinações 1-2-3- 4-5-6 ou 12-21-34-43-50-51 tem mais chance de ser sorteada na Mega- Sena, a maior parte das pessoas dirá que a segunda tem maior chance de sair, quando na verdade as chances são as mesmas). O ensino de Probabilidade na escola de nível básico deveria ter por objetivo fortalecer a intuição e o espírito crítico dos alunos para lidar com situações envolvendo fenômenos aleatórios". Vejamos o enunciado:

Em um jogo, Pedro lança uma moeda para decidir quantas casas avançar. Quando sai cara, ele avança uma casa; quando sai coroa, ele avança duas casas. O jogo acaba quando Pedro alcança ou ultrapassa a última casa. Faltam três casas para Pedro terminar o jogo. Qual é a probabilidade de que ele tire coroa em sua última jogada?

(A)         (B)         (C)         (D)         (E)

Para solucionar a questão, primeiramente observa-se que Pedro pode terminar o jogo de cinco maneiras distintas, como listadas abaixo:

1. cara, cara, cara − probabilidade 1/8
2. cara, cara, coroa − probabilidade 1/8
3. cara, coroa − probabilidade 1/4
4. coroa, cara − probabilidade 1/4
5. coroa, coroa − probabilidade 1/4

Assim, ele termina com coroa nas alternativas 2, 3 e 5.

Como as alternativas acima são mutuamente exclusivas, a probabilidade de sua última jogada ser coroa é . Logo, a questão tem como solução a letra (D).