Eduardo Nogueira Simões

Sou professor do ensino médio de escola do interior mineiro. O Estado de Minas Gerais solicitou aos professores que o ensino de progressões seja articulado com o ensino de funções. E qual é essa articulação?

Ora, uma progressão aritmética, PA, é uma função polinomial do 1º grau calculada somente para valores inteiros de x, de 1 a N. Por exemplo, a PA de 1º termo igual a 7, razão igual a 5, com 10 termos, tem o termo geral an = 7 + 5(n − 1). Essa PA é, portanto, a restrição ao conjunto {1, 2, ..., 10} da função polinomial do 1º grau, f(x) = 7 + 5 (x − 1) ou f(x) = 5x + 2.

Reciprocamente, qualquer função polinomial de 1º grau, f(x) = ax + b, a ≠ 0, restrita ao subconjunto {1, 2, ..., N}, dá lugar à PA de N  termos, com a1 = a + b, razão b e an = a × n + b.

A relação entre os gráficos da função e respectiva PA é que o gráfico da função é uma reta, enquanto o gráfico da PA é o conjunto de pontos dessa reta de abscissas 1, 2, ..., N.

Para os alunos do ensino médio, vale a pena apresentar a relação que há entre as progressões geométricas, PGs, e as funções exponenciais. Vejamos: uma PG de 10 termos, com 1º termo igual a 7 e razão igual a 5, tem an = 7 × 5(n − 1), sendo, portanto, uma restrição ao conjunto {1, 2, ..., 10} da função exponencial: f(x) = 7 × 5(x − 1) ou f(x) = (7/5) × 5x.

Reciprocamente, qualquer função exponencial f(x) = abx, restrita ao subconjunto {1, 2, ..., N}, dá lugar à PG de N termos, com a1 = a × b, razão b e an = a × bn.

A relação entre os gráficos da função e respectiva PG é que o gráfico da função é uma curva exponencial, enquanto o gráfico da PG é o conjunto de pontos dessa curva de abscissas 1, 2, ..., N.