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Painel I O número e e as moedas Ernesto Rosa Se emprestarmos uma moeda a juros de 100% ao ano, no fim de um ano teremos de volta o montante M de 2 moedas: M = 1 + 1 = 2. E se emprestarmos por 50% a cada 6 meses? Seria melhor? 6 meses → 1 ano → Logo, ganhamos mais do que contando os juros anualmente. E se emprestarmos por 25% a cada 3 meses? Seria ainda melhor? Observando que 25/100 = 1/4, teríamos: 3 meses → 6 meses → 9 meses → 1 ano → Se contarmos juros todos os dias, o montante no fim de um ano será Jacques Bernoulli (1654-1705) estudou a expansão de É interessante pedir que os alunos, mesmo do ensino fundamental, utilizem uma calculadora para montar a tabela abaixo:
Demonstra-se (ver livros de Cálculo ou Análise) que, à medida que n cresce, o valor Portanto, para qualquer valor de n, uma moeda emprestada a juros compostos de
Painel II Ganhando com a Matemática Rogério César dos Santos Nestes dias fui a uma loja de forros de PVC. A minha casa é quente e decidimos colocar forro nos dois quartos. Lá chegando, fiquei sabendo que o preço do metro quadrado do forro varia conforme a quantidade pedida. De 20 m2 para cima, o valor do metro quadrado é R$ 22,00, enquanto, abaixo disso, o valor sobe para R$ 32,00. Pelas minhas medidas, eu precisaria de 19 m2. Foi então que me veio uma dúvida: se eu comprasse 20 m2, seria melhor do que comprar os exatos 19 m2? A resposta traz uma ótima ilustração do conceito de funções contínuas/descontínuas em nosso cotidiano. Seja f(x) o valor total da compra, em função da quantidade de metros quadrados x. Pelas informações acima, temos:
Logo, comprando 19 m2, devo pagar 32 × 19 = 608 reais e, se eu comprasse 20 m2, pagaria apenas 22 × 20 = 440 reais. Um cliente que sabe um pouquinho de matemática, como eu, percebe que é vantagem comprar os 20 m2 , embora precise apenas de 19 m2. Para quem se lembra das aulas sobre limites e continuidade, da faculdade, é possível notar que isso ocorre porque a função f não é contínua em x = 20. Veja:
Agora, vem a pergunta: dado x no intervalo ]0, 20[, qual é o valor mínimo x de metros quadrados para o qual ainda assim seria vantagem comprar 20 m2, no lugar dos x m2? Como x é menor do que 20, o valor da compra será 32x. Queremos saber, portanto, o valor de x tal que 32x > 20 × 22 ⇔ 32x > 440 ⇔ x > 13,75. Portanto, para qualquer quantidade entre 13,75 m2 e 20 m2, o melhor é comprar 20 m2, pois, além de se pagar mais barato, tem-se sobra de material. Observamos que como as placas vêm de 20 em 20 centímetros, o valor prático de x que satisfaz a inequação é x = 13,80 m2. Se a loja considerasse que seus clientes têm algum conhecimento de matemática, o melhor seria apresentar uma tabela de preços diferente, qual seja: Abaixo de 13,80 m2, o preço do metro quadrado é R$ 32,00. Entre 13,80 m2 e 20 m2, o valor total é R$ 440,00, não importando a metragem. Acima de 20 m2, o preço é de R$ 22,00 o metro quadrado. Pelo menos, dessa forma, ficaria com a loja o material excedente do cliente. O gráfico dessa nova função preço, agora contínua, seria:
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= 2,25 moedas. 
2,44... moedas. 
moedas. Se dividirmos o ano em n intervalos de tempo iguais, teremos M = 
moedas. 
O esboço do gráfico da função 
dá uma ideia do seu comportamento.
, cobrados em intervalos de tempo iguais a 
de um ano, cresce no máximo para e moedas em um ano.
O gráfico da função f está esboçado ao lado. 