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Chico Nery
Acredito que para um aluno entender o que é uma média de um conjunto de números, antes de apresentar qualquer cálculo, nós, professores, devemos deixar claro qual é o conceito de média: ao dizermos que um número m é uma média de um conjunto finito de números positivos não nulos, estamos dizendo que, se todos os números desse conjunto forem substituídos por m, uma certa peculiaridade, por exemplo, soma ou produto dos números, será mantida. Então, se essa substituição dos números (que estamos supondo positivos não nulos) por m: a) mantém a sua soma, dizemos que m é a média aritmética desse conjunto de números. b) mantém o seu produto, dizemos que m é a média geométrica. c) mantém a soma de seus inversos, dizemos que m é a média harmônica. d) mantém a soma de seus quadrados, dizemos que m é a média quadrática. Por exemplo, em relação ao conjunto {2, 18}: Se m for a média aritmética: 2 + 18 = m + m → 2m = 20 → m = 10. Se m for a média geométrica: 2×18 = mm→ m = Se m for a média harmônica:
Se m for a média quadrática:
De um modo geral, sendo a e b dois números positivos distintos e não nulos, sendo A, G, H e Q suas médias aritmética, geométrica, harmônica e quadrática, respectivamente, temos:
Nesse momento da aula, acho interessante pedir para o aluno que procure uma relação entre A, G e H, para que, se possível, ele perceba que A × H = G2. Essas descobertas, quando realizadas pelo próprio aluno, são muito educativas. Outra coisa interessante é mostrar que não é particularidade do conjunto escolhido ter ocorrido Podemos provar algebricamente uma dessas desigualdades e pedir para o aluno tentar provar as outras duas, já que as provas têm o mesmo ponto de partida e desenvolvimento análogo: mais um momento importante da aula, em que o aluno tem a chance de mostrar a sua inventividade. Provamos ao lado a desigualdade G > H ou H < G. Em seguida, cabe comentar que, se a = b, teremos A = G = H = Q e, portanto, para a e b positivos, temos Q Estamos considerando apenas dois números a e b, pois o nosso objetivo principal é apresentar uma interessante interpretação geométrica que permite mostrar a ordenação das médias consideradas anteriormente, com o auxílio de um trapézio de bases a e b, com a < b. Inicialmente observamos que, se a < b, qualquer uma das médias H, G, A ou Q são números entre a e b, pois: aa < ab → aa + ab < 2ab → a(a + b) < 2ab → a < H e a2 < b2 → a2 + b2 < 2b2 → Q2 < b2 → Q < b. Logo, a < H < G < A < Q < b.
Veremos a seguir que os valores Q, A, G e H "aparecem" conforme o segmento paralelo às bases assume alguma posição notável no trapézio. Nesse momento de aula, acho oportuno pedir a opinião dos alunos quanto a essas posições mais estratégicas: quais seriam elas? Não demora muito para que eles sugiram: o segmento equidistar das bases, o segmento dividir o trapézio em duas áreas iguais ou o segmento passar pelo encontro das diagonais do trapézio. Se não aparecer, você pode sugerir também a situação de o segmento dividir o trapézio em dois trapézios semelhantes. Analisemos cada uma dessas situações, efetuando os cálculos e fazendo as devidas comparações.
que implica
a) da igualdade das áreas das trapézios:
b) da semelhança dos triângulos destacados que: E, portanto,
3) Consideremos agora que o segmento de medida m divida o trapézio inicial em dois trapézios semelhantes. Temos
Por semelhança de triângulos temos
Substituindo x = y na última igualdade, encontramos Caso permitíssemos que as bases do trapézio se igualassem, ou seja, ter a = b, o trapézio se transformaria num paralelogramo e assim, obviamente, as quatro médias se igualariam: m1 = m2 = m3 = m4 = a = b. Os alunos costumam ficar surpresos, quando não maravilhados, quando estabelecemos essas relações da Álgebra ou da Aritmética com a Geometria, talvez porque assim os conceitos, as propriedades fiquem menos abstratas à medida que ficam mais visíveis aos olhos deles. Para encerrar, é necessário dizer que o tempo dessa proposta de aula é bem maior que o tempo das nossas aulas tradicionais, mas o conteúdo utilizado é totalmente compatível com o programa do ensino médio. Para complementar, numa outra aula, podemos mostrar aos alunos como utilizar as médias para resolver problemas de Matemática, sejam eles práticos ou não, como mostram muito bem os artigos Duas médias, de Eduardo Wagner (RPM 18), e Média harmônica, de Seiji Hariki (RPM 32). ________ Resposta do Onde cabe mais areia? do final do artigo Decorar é preciso. Demonstrar também é. Cilindro de altura a: O raio da base desse cilindro é igual a b/2π, logo seu volume Va é igual a Va= ab2/4π. Cilindro de altura b: O raio da base desse cilindro é igual a a/2π, logo seu volume Vb é igual a Vb = a2b/4π. Portanto, a razão entre os volumes é a razão inversa entre as alturas: Va/Vb = b/a. Ou seja, o cilindro de menor altura tem o maior volume, comportando, portanto, mais areia que o cilindro de maior altura. |
→m = 6 . 
a seguinte ordenação: H < G < A < Q. 
A 
Observamos também que conforme um segmento paralelo às bases a e b, com extremidades nos dois lados transversos, "caminha" se afastando de a e se aproximando de b, sua medida assume todos os valores entre a e b, e, consequentemente, todas as médias consideradas. 
1) Suponhamos o segmento de medida m equidistando das bases. A soma das áreas dos dois trapézios menores é a área do trapézio inicial:
2) Em seguida, consideremos que o segmento de medida m divida o trapézio inicial em dois trapézios menores com áreas iguais. Temos: 
ou seja, 
uma vez que a + m < b + m. 
implicando 
Sendo h
implicando m = 
= G. Sendo 
4) Finalmente, consideremos o segmento de medida m passando pelo encontro das diagonais. 
e
, implicando x = y e 
e, portanto, m = 2x =
= H. Ainda, usando semelhança de triângulos, temos 
. Mas 
, ou seja, h