QUESTÃO 30

As potencialidades pedagógicas da história no ensino de matemática têm sido bastante discutidas. Entre as justificativas para o uso da história no ensino de matemática, inclui-se o fato de ela suscitar oportunidades para a investigação. Considerando essa justificativa, um professor propôs uma atividade a partir da informação histórica de que o famoso matemático Pierre Fermat [1601-1665], que se interessava por números primos, percebeu algumas relações entre números primos ímpares e quadrados perfeitos.

Para que os alunos também descobrissem essa relação, pediu que eles completassem a tabela a seguir, verificando quais números primos ímpares podem ser escritos como soma de dois quadrados perfeitos. Além disso, solicitou que observassem alguma propriedade comum a esses números.

A partir da atividade de investigação proposta pelo professor, analise as afirmações seguintes.

I) Todo número primo da forma 4n + 1 pode ser escrito como a soma de dois quadrados     perfeitos.

II) Todo número primo da forma 4n + 3 pode ser escrito como a soma de dois quadrados       perfeitos.

III) Todo número primo da forma 2n + 1 pode ser escrito como a soma de dois quadrados        perfeitos.

Está correto o que se afirma em

A prova de Matemática do ENADE 2008, realizada no dia 9/11/08, certamente será analisada por muitos alunos e professores dos cursos de Licenciatura em Matemática. Por esse motivo a RPM deseja emitir um alerta referente à Questão 30 que reflete um vício muito presente no ensino da Matemática no Brasil e que deve, a todo custo, ser combatido. O gabarito coloca como correta a alternativa A.

Qual é o vício mencionado acima? Existem infinitos primos da forma 4n + 1. Verifica-se que quatro deles têm uma determinada propriedade. É ERRADO, em Matemática, concluir, a partir de quatro verificações, a veracidade da afirmação "Todo número primo da forma 4n + 1 pode ser escrito como a soma de dois quadrados".

A partir de alguns exemplos, podem-se fazer conjeturas a respeito da veracidade de uma afirmação geral ou pode-se afirmar que ela é verdadeira porque foi demonstrada por fulano, mas NUNCA a verificação de alguns casos particulares permitirá, por si só, concluir que uma dada afirmação é verdadeira para outros casos, ou, pior ainda, verdadeira sempre. Será preciso demonstrar que a afirmação, verificada em alguns casos, é, de fato, verdadeira sempre. Já para demonstrar que uma afirmação é falsa, basta que se dê um exemplo em que ela não valha.

Nesse contexto, os exemplos das páginas iniciais do artigo Vale para 1, para 2, para 3, ... vale sempre? (RPM 9) mostram o perigo das generalizações a partir de alguns exemplos particulares.

É justo observar que a Questão 30, em si, tem muitas qualidades:

• Exemplifica o uso da História da Matemática no ensino básico.

• Ressalta a possibilidade de envolver os alunos na descoberta de eventuais propriedades dos números.

• Usando uma linguagem informal, fala de Fermat, números primos, quadrados perfeitos.

• A afirmação I é verdadeira e foi demonstrada por Fermat.

O defeito da questão teria sido facilmente evitado se a afirmação I tivesse sido:

"Todo número primo da TABELA, da forma 4n + 1, pode ser escrito como a soma
de dois quadrados perfeitos".