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André Marchesini Gabrielli Apresentamos algumas atividades que estabelecem uma interessante ligação entre padrões numéricos e Geometria. Elas oferecem oportunidade para que alunos, tanto do ensino fundamental quanto do ensino médio, pratiquem coletar dados, construir tabelas, estudar padrões, fazer e testar conjecturas e explorar o processo de recursão. O estudo de funções pode ser exercitado por meio da análise, representação e generalização das relações observadas nas atividades. Para o ensino médio, os padrões que ocorrem entre sequências de números poligonais fornecem muitas oportunidades para o aprendizado de progressões e funções, além de propiciar familiaridade com uma notação mais sofisticada. Os números figurados ou poligonais já eram conhecidos desde a Grécia antiga. Eles expressam a quantidade de pontos em certas configurações geométricas. A figura abaixo mostra alguns números poligonais. Números triangulares
Números quadrados
Números pentagonais
Números hexagonais
Menos conhecidos são os números poligonais centrais, que são gerados a partir de um ponto central. Abaixo, na primeira linha, estão ilustrados os números figurados (ou poligonais), t5, q5 e p5, e na segunda linha, para comparação, estão ilustrados os números poligonais centrais, T5, Q5 e P5. Números figurados
Números poligonais centrais
Neste texto usaremos letras maiúsculas para representar os números poligonais centrais, e minúsculas para os números figurados clássicos. O índice n mostra quantas "camadas" já foram desenhadas a partir do ponto inicial. Dizemos que n é a ordem do número. Essa notação é difícil para alunos principiantes. Para que seu uso não se torne um obstáculo ao aprendizado, acreditamos que, inicialmente, os próprios alunos possam criar sua maneira de denotar os números observados. Com o uso, eles poderão perceber vantagens e desvantagens na notação utilizada e o professor poderá, aos poucos, ajudá-los a adotar notações mais eficientes. A seguir apresentaremos algumas ideias que podem ser adaptadas e trabalhadas em salas de aula de praticamente todas as séries, desde iniciantes, com atividades simples de contagem, observação e pequenas conjecturas, até o ensino médio, com perguntas mais desafiadoras. Uma classe pode começar, por exemplo, apenas observando cada figura anterior, com os números figurados e poligonais centrais, conferir os valores fornecidos, produzir tabelas, escolher uma notação para as observações feitas. Em um segundo momento, o professor pode perguntar quais devem ser os valores dos próximos números das duas sequências (h5 = 45 e H5 = 61). A verificação geométrica é bastante interessante e aguça a capacidade de observação, mesmo de alunos pequenos. Em classes mais adiantadas, o professor pode observar que os números poligonais de um mesmo tipo formam sequências com propriedades interessantes. Vejamos o caso dos números triangulares tn. Os primeiros números triangulares são 1, 3, 6, 10, 15, 21. É possível perceber que as diferenças entre cada um deles e seu antecessor são 2, 3, 4, 5, 6. Geometricamente, é fácil perceber que há uma regularidade na formação desses números: tn+1 = tn + n, para todo n. Com essa informação, é possível reformular o raciocínio e notar que t1 = 1 t2 = 1 + 2 t3 = 1 + 2 + 3 ... tn = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + n. Vemos então que cada tn é a soma dos termos de uma PA e, com isso, concluir que Esse fato não é um caso isolado. É interessante poder verificar que as diferenças entre dois números figurados consecutivos de mesmo tipo formam uma PA e encontrar, utilizando a fórmula da soma dos seus termos, uma expressão geral para os números figurados. Por exemplo, qn = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + ... + (2n − 1), qn = n2.
hn = 1 + 5 + 9 + 13 + 17 + ... + (4n − 3), hn = 2n2 − n. A próxima atividade mostra como obter os números poligonais centrais de um mesmo tipo, a partir dos anteriores. Aqui, os alunos terão a oportunidade de conhecer algumas fórmulas recursivas.
A figura sugere que Tn+1 = Tn + 3n, para todo n. Considerando esse resultado verdadeiro, o professor pode formular questões do tipo: Sabendo-se que T6 = 46, calcule T7 e T8, ou sabendo-se que T20 = 571 e que T100 = 14.851, calcule T21 e T101. De modo análogo, as figuras a seguir sugerem uma forma recursiva de se obterem outros números poligonais centrais a partir dos anteriores do mesmo tipo. Números quadrados centrais
Números pentagonais centrais
Números hexagonais centrais
Com isso, podemos formular perguntas como: Sabendo-se que Q20 = 761, calcule Q21 e Q19, ou sabendo-se que P20 = 951, calcule P22 e P18. No ensino médio é desejável que os alunos verifiquem que as diferenças entre dois números poligonais centrais de mesmo tipo formam uma PA. • As diferenças entre dois números triangulares centrais consecutivos são: 3, 6, 9, ..., uma PA de razão 3. • As diferenças entre dois números quadrados centrais consecutivos são: 4, 8, 12, ..., uma PA de razão 4. • As diferenças entre dois números pentagonais centrais consecutivos são: 5, 10, 15, 20, ..., uma PA de razão 5. • As diferenças entre dois números hexagonais centrais consecutivos são: 6, 12, 18, ..., uma PA de razão 6. Com isso, podemos propor também que os alunos concluam que valem as fórmulas
O aluno observador irá perceber o padrão que se apresenta nas fórmulas acima, Para finalizar, mencionamos outras relações e questões interessantes que o professor também pode utilizar em sala de aula. 1. Números figurados de diferentes tipos podem ser obtidos a partir dos números triangulares. Valem, por exemplo, as relações: tn = tn−1+ n, qn = 2tn−1+ n, pn = 3tn−1+ n e hn = 4tn−1+ n. 2. A diferença entre números figurados "consecutivos" de mesma ordem, n, é igual ao número figurado triangular de ordem n − 1. Por exemplo, pn − qn = tn−1 e hn − pn = tn−1. 3. Vale a igualdade: 2pn = qn + hn, para qualquer n. Valem relações análogas para números figurados de outros tipos? 4. Verificar que valem as relações: 2Pn = Qn + Hn, Qn − Tn = tn−1, Pn − Qn = tn−1 e Hn − Pn = tn−1.
Nota: Este texto foi inspirado em MILLER, Willian A. Recursion and The Central Polygonal Numbers. In: Mathematics Teacher, vol. 84, number 9. NCTM. |
, em que k (que pode ser maior que 6) é o número de lados do polígono. Em classes menos adiantadas, o aluno poderá verificar as fórmulas nos casos n = 1, 2, ..., 5, em que ele tem a figura para ajudá-lo.