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Responsáveis Envie suas perguntas para: ♦ A lebre e a tartaruga Um leitor do Ceará pediu a solução do problema abaixo, pois, diz ele, "é muito interessante e desperta em mim um grande fascínio". Na célebre corrida entre a lebre e a tartaruga, a velocidade da lebre é de 30 km/h e a da tartaruga é de 1,5 m/min. A distância a percorrer é de 600 m, e a lebre corre durante 0,5 min antes de parar para uma soneca. Qual é a duração máxima da soneca para que a lebre não perca a corrida? RPM Velocidade da lebre = 30 km/h = 30.000/60 m/min = 500 m/min. Assim, a lebre corre 250 metros em 0,5 minuto. Após dormir, faltarão 350 metros para o ponto de chegada e esse percurso ela faz em 0,7 minuto (350 = 500 x, x = 0,7). A tartaruga leva 600/1,5 = 400 minutos para fazer o percurso. Sendo t a duração da soneca, devemos ter 0,5 + t + 0,7 < 400 para que a lebre não perca a corrida. Assim, t < 400 − 1,2 = 398,8. Logo, a lebre poderá dormir, no máximo, 398,8 minutos, ou seja, 6 horas, 38 minutos e 48 segundos.
♦ Que susto! Sou professor do ensino médio em Fortaleza-CE e, de repente, me vi envolvido numa "encrenca" no que diz respeito a divisão de polinômios. Como é que eu posso afirmar que o resto da divisão do polinômio p(x) = 7 por d(x) = 19 é r(x) = 7 (e o quociente é q(x) = 0), se, nesse caso, o grau de r(x) seria igual ao grau de d(x) (ambos nulos), contrariando a condição grau r(x) < grau d(x) ? RPM No ensino médio estuda-se a divisão de polinômios com coeficientes reais e para esses polinômios tem-se o seguinte teorema: Dados dois polinômios p(x) e d(x), d(x) não nulo e de grau n, existe um único par de polinômios q(x) e r(x) tais que p(x) = d(x) q(x)+ r(x) e r(x) ou é nulo ou seu grau é menor que n. Ao efetuar a divisão de p(x) = 7 por d(x) = 19 , o quociente da divisão é o polinômio q(x) = 7/19 e o resto é o polinômio nulo, bem de acordo com o teorema enunciado: 7 = 19(7/19) + 0.
♦ Conjunto solução Escreve um leitor de Minas Gerais: Não encontrei nos livros didáticos uma explicação sobre minha dúvida: quando é necessário escrever o conjunto solução de uma equação ou inequação. Por exemplo, Resolva a equação 2x = 6 (solução: x = 3). Em quais desses casos é, digamos, obrigatório escrever o conjunto solução: S = {3} ? RPM Em nenhum dos casos. Pedindo a um matemático que resolva a equação 2x = 6, ele dirá x = 3. Devem-se colocar respostas na forma de conjunto solução se isso for pedido explicitamente. Assim, se a pergunta for "qual é o conjunto solução da equação 2x = 6?", a resposta correta é {3}.
♦ Contagem Uma leitora de São Paulo pediu a solução do problema: No livro de chamada de uma sala de aula, há alunos que vão do número 1 ao 30. De quantas maneiras podemos escolher três alunos de forma que a soma de seus números de chamada seja ímpar? RPM A soma de três números inteiros é ímpar se os três números forem ímpares ou dois números forem pares e o terceiro, ímpar. a) De 1 a 30 há 15 números ímpares. Então há C15,3 = 455 maneiras de escolher três alunos com números ímpares. b) De 1 a 30 há 15 números pares. Há C15,2 = 105 maneiras de escolher dois alunos com números pares. Para cada uma das escolhas há 15 possibilidades de acrescentar um aluno com número ímpar. (Por exemplo, (2, 8, 1) ; (2, 8, 3) ; ... ; (2, 8, 29).) Há, então, 105 × 15 = 1.575 modos de escolher os três alunos. Ao todo, o número de escolhas possíveis é 455 + 1.575 = 2.030.
♦ Que horas são? Um leitor escreveu: Um colega trouxe-me a seguinte questão de um concurso. Um relógio defeituoso adianta 2/3 de minuto por hora. Às 12h de um certo dia ele marca as horas corretamente. Quando ele marcar 6h do dia seguinte, qual será a hora correta? Pelo gabarito, a resposta é (5 e 4/5)h. Discordo, caso seja "exatamente" a hora certa. Se fosse "aproximadamente", até podia.Tentei resolver o problema e encontrei que, enquanto o relógio defeituoso avança 18 horas, o tempo real avança 1620/91 h = 17,802196... h, ou seja, o relógio correto estará marcando 5,802196...h. É bem próximo de (5 e 4/5)h, mas não é igual. Qual é a resposta correta? RPM Como frequentemente ocorre no caso de questões envolvendo modelagem de situações reais, o enunciado contém uma ambiguidade. Neste caso, a frase: Um relógio defeituoso adianta 2/3 de minuto por hora, pode ser interpretada como: 1. O relógio defeituoso adianta 2/3 de minuto por hora DECORRIDA NO PRÓPRIO RELÓGIO. 2. O relógio defeituoso adianta 2/3 de minuto por hora REAL. A segunda interpretação nos parece bem mais plausível e, nesse caso, o leitor tem toda a razão, como veremos. Entretanto, a banca examinadora aparentemente pretendia que a primeira interpretação fosse adotada. Nesse caso, um relógio correto "atrasa" 2/3 de minuto por hora decorrida no relógio defeituoso. Quando o relógio defeituoso marcar 6 h do dia seguinte, terão decorrido 18 horas nesse relógio. Assim, o relógio correto terá se "atrasado" 18 × 2/3 minutos, ou 12 minutos, e a hora marcada por ele será 5 horas e 48 minutos ou (5 e 4/5)h, como propõe o gabarito. Na segunda interpretação, cada hora real corresponde a 1 hora e 2/3 minutos no relógio defeituoso. Usando uma regra de três simples, concluímos que cada hora no relógio defeituoso corresponde a x minutos no relógio correto, de tal forma que x/60 = 60/(60 + 2/3). Segue que x = ( 60/(60 + 2/3)) × 60 = 90/91. Portanto, enquanto o relógio defeituoso avança 18 horas, um relógio correto avança (90/91) × 18 horas = 1620/ 91 = 17,802916..., e a hora nele marcada será 5,802196..., como escrito pelo leitor.
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