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Estudo das cônicas com Geometria Dinâmica José Carlos de Souza Jr.
A exploração de softwares de Geometria Dinâmica nos permite realizar investigações sobre propriedades geométricas que dificilmente conseguiríamos observar sem esse recurso. Por exemplo, neste artigo, estudamos definições alternativas das cônicas, que facilitam técnicas do Desenho Geométrico com o auxílio do computador. Neste trabalho, utilizamos o software de Geometria Dinâmica GeoGebra. O GeoGebra é um software livre que reúne Geometria, Álgebra e Cálculo. O seu autor é o professor Markus Hohenwarter, da Universidade de Salzburgo, na Áustria. Por um lado, o GeoGebra é um sistema de Geometria Dinâmica que permite realizar construções tanto com pontos, vetores, segmentos, retas, cônicas e funções, que podem ser modificados dinamicamente. Por outro lado, pode-se inserir equações e coordenadas diretamente. Assim, o GeoGebra tem a potência de trabalhar com variáveis vinculadas a números, vetores e pontos; permite determinar derivadas e integrais de funções, além de oferecer um conjunto de comandos próprios da Análise Matemática, para identificar pontos singulares de uma função, como raízes e extremos. Qualquer pessoa pode obter esse forte aliado do ensino de Matemática no endereço eletrônico: http://www.geogebra.org/cms/ O objetivo deste texto é utilizar definições de cônicas, equivalentes às definições comumente utilizadas, para obtenção, com régua e compasso, de pontos que possibilitam esboçar a elipse, a hipérbole e a parábola, utilizando o GeoGebra. A partir de agora, supomos todas as curvas consideradas contidas em um plano.
Elipse A definição usual é: A elipse de focos F1 e F2 e eixo maior 2a é o lugar geométrico dos pontos cuja soma das distâncias aos focos é constante e igual a 2a. Essa definição exige que a distância de F1 a F2 seja menor do que 2a, de modo que F2 é interno à circunferência de centro F1 e raio 2a, que denotaremos C(F1, 2a). Essa circunferência é chamada circunferência diretora da elipse (a outra seria C(F2, 2a)). Se T for um ponto arbitrário de C(F1, 2a), então a reta F1T corta a mediatriz de F2T em um ponto P tal que PF1 + PF2 = F1P + PT = F1T = 2a, o que mostra que P é um ponto da elipse. Como os pontos F1, P e T são colineares, C(P, PF2) é tangente a C(F1, 2a) em T. Essa construção pode ser revertida, de forma que chegamos a uma outra definição de elipse, equivalente à usual: A elipse de focos F1 e F2 é o lugar geométrico dos centros das circunferências que contêm F2 e tangenciam C(F1, 2a), sendo 2a > F1F2.
Essa definição, embora menos usada, presta-se melhor à construção no GeoGebra.
Roteiro para construção da elipse no GeoGebra, dados os focos F1 e F2 e o comprimento 2a 1. Crie a C(F1, 2a) (centro F1 e raio 2a).
Hipérbole Analogamente ao caso da elipse, a definição usual de hipérbole é: A hipérbole de focos F1 e F2 e eixo transverso igual a 2a é o lugar geométrico dos pontos cuja diferença das distâncias aos focos tem diferença (em módulo) constante e igual a 2a. Essa definição exige que a distância de F1 a F2 seja maior do que 2a, de modo que F2 é externo à C(F1, 2a), que é chamada uma circunferência diretora da hipérbole (a outra seria C(F2, 2a)). Se T for um ponto arbitrário de C(F1, 2a), então a reta F1T corta a mediatriz de F2T em um ponto P tal que PF1 − PF2 = F1P − PT = F1T = 2a (ou PF2 − PF1 = PT − F1P = F1T = 2a, no outro "ramo" da hipérbole), o que mostra que P é um ponto da hipérbole. Como F1, P e T são pontos colineares, C(P, PF2) é tangente a C(F1, 2a) em T. Essa construção pode ser revertida, de forma que chegamos a uma outra definição de hipérbole, equivalente à usual: A hipérbole de focos F1 e F2 é o lugar geométrico dos centros das circunferências que contêm F2 e tangenciam C(F1, 2a), sendo 2a < F1F2.
Como no caso da elipse, essa definição menos usada presta-se melhor à construção no GeoGebra.
Roteiro para construção da hipérbole no GeoGebra, dados os focos F1 e F2 e o comprimento 2a 1. Crie a C(F1, 2a). Obs.: As construções apresentadas para a elipse e a hipérbole são tão idênticas que, na Geometria Dinâmica, uma mesma construção serve para as duas curvas, bastando para isso variar de modo conveniente o comprimento 2a ou a distância entre os focos.
Parábola A definição usual de parábola é: A parábola de foco F e reta diretriz d é o lugar geométrico dos pontos equidistantes do foco e da diretriz. Se P for um ponto da parábola, a perpendicular a d por P corta d em T, tal que PT = PF. Portanto, C(P, PF2) é tangente a d em T. Essa construção pode ser revertida, de forma que chegamos a uma outra definição de parábola, equivalente à usual: A parábola é o lugar geométrico dos centros das circunferências que contêm o ponto F e tangenciam a reta d (com F
Novamente, esta definição pouco usual presta-se muito bem à construção no GeoGebra.
Roteiro para construção da parábola no GeoGebra, dados o foco F e a diretriz d 1) Crie um ponto A sobre a reta d.
Ao observarmos a figura anterior, surge a seguinte questão: Será que a mediatriz l é tangente à parábola no ponto P? Consequentemente, a parábola é uma envoltória de todas as mediatrizes de FA, com A ∈ d? Isso é verdade, como está provado no artigo Por que as antenas são parabólicas, de Eduardo Wagner, publicado na RPM 33.
Conclusão As técnicas do desenho geométrico puderam ser trabalhadas e adaptadas ao meio computacional de maneira a tornar as construções geométricas rápidas e precisas, além de permitir a manipulação dos objetos construídos preservando as características inerentes definidas em sua construção, possibilitando assim a percepção de padrões e invariâncias, instigando a elaboração de conjecturas e finalmente a validade ou não dessas conjecturas.
Bibliografia WINTERLE, P. Vetores e Geometria Analítica. São Paulo: Makron Books, 2000.
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