 |
|
|
||
 |
||||
|
|
|
||
|
|
||||
José Carlos de Souza Jr.
No artigo Calcular prestações de uma dívida, como?, publicado na RPM 66, o autor está interessado em obter o valor das prestações referentes a um financiamento no valor de R$ 1.500,00 em 10 prestações sujeitas a uma taxa de 5% ao mês. Para tanto, ele estabelece a relação entre o valor a ser financiado, A, (sem entrada) e as n prestações iguais a P, com taxa de juros i.
Uma questão igualmente importante que surge é: dado um financiamento, como obter a taxa de juros, i? Veremos duas maneiras de resolver o problema, a primeira algébrica e a segunda por meio de aproximações sucessivas a partir de uma escolha inicial, utilizando uma planilha eletrônica. Como encontrar a taxa i Considere a seguinte situação: um refrigerador, cujo valor à vista é de R$ 720,00, pode ser pago em 12 prestações de R$ 62,50, sem entrada. Nessa situação, qual a taxa mensal de juros que está embutida na venda a prazo? Como encontrar a taxa de um financiamento? Sendo A = 720 (valor à vista), P = 62,50 (prestação) e n = 12 (número de prestações), desejamos encontrar a taxa mensal i de tal modo que: Como não temos um método algébrico simples para resolver a equação, vamos considerar:
1º) Tentativa e erro (com interpolação linear) Tenta-se uma taxa, com valor provável, por exemplo, i = 0,5%. Substituindo na equação, obtemos:
0,6% ------ 1,551 Supondo, nesse intervalo, a variação linear, teremos que a taxa de juros será 0,6% + x, sendo x obtido utilizando a regra de três: x ------ 1,551 notando que 4,590 = 1,551 − (−3,039). Obtemos, então,
2º) Aproximações sucessivas Escrevemos a equação na forma Uma planilha eletrônica pode ser utilizada para calcular os termos da sequência e verificar quando esses valores tendem a se fixar, pois, nesse caso, esse valor comum será uma raiz da equação, logo, a taxa aplicada.
A célula D2 corresponde à aproximação inicial escolhida da taxa i0 (0,5%) e a fórmula inserida na célula D3, que fornece i1, é "=C$2/A$2*(1-(1+D2)^(-B$2))" correspondendo à expressão obtida anteriormente. A partir daí, basta "arrastar" a D3 para ir obtendo i2, i3, etc. Como podemos ver, após 340 iterações, obtivemos uma aproximação para a taxa com 6 casas decimais melhor que a obtida pelo método de tentativa e erro. O processo iterativo é bastante lento, mas o poder de processamento das planilhas eletrônicas torna possível sua utilização. Deve-se notar, no entanto, que poderíamos utilizar métodos iterativos mais eficientes, como o método de Newton. Por outro lado, a aplicação dessa atividade em sala de aula atende às orientações curriculares para o ensino médio, que recomendam ao professor a elaboração de atividades didáticas com uso de planilhas eletrônicas. Esse instrumento de trabalho é bastante corriqueiro nos dias de hoje; logo, sua utilização, além de fornecer oportunidade para construir e trabalhar conceitos matemáticos, contempla a capacitação do aluno. Nota: Outros exemplos utilizando o método iterativo podem ser encontrados na RPM 40, p. 34, e RPM 51, p. 25. |
Isso significa que a taxa é maior que 0,5 %. Tentando i = 0,6% , obtemos: 
Fazendo i = 0,7%: 
o que mostra que 0,7% já ultrapassa o valor da taxa desejada. Então observamos 
Portanto, uma aproximação razoável para i é i = 0,6% + 0,0338% = 0,6338% ao mês. 
e vamos resolvê-la usando o método das aproximações sucessivas: consideramos uma aproximação inicial i
