Geraldo Henrique Botelho Lins
Universidade do Estado do Rio de Janeiro

Introdução

Os estudantes que completaram o ensino médio devem estar familiarizados com o estudo das cônicas e, particularmente no caso da circunferência, com o estudo das relações métricas e de outras propriedades que se revelam importantes na solução de alguns problemas geométricos. Pretendemos mostrar que, se usamos a parábola, podemos chegar a relações surpreendentes e até muito semelhantes às já estudadas no caso da circunferência.

Lembramos que uma parábola é o lugar geométrico dos pontos de um plano, eqüidistantes de um ponto (o foco) e uma reta (a diretriz). É bem conhecido que, escolhendo o eixo x como sendo a tangente no vértice e o eixo y como o eixo da parábola (reta perpendicular à diretriz que passa pelo foco), a parábola tem equação y = ax2, sendo , em que p é a distância do foco à diretriz, chamada de parâmetro da parábola.

Por isso, sem perda de generalidade, estudaremos a parábola de equação y = ax2, com a > 0.

Cordas da parábola

Uma reta r não perpendicular à diretriz da parábola y = ax2 tem equação y = mx + k e corta a curva em dois pontos A e B, determinando uma corda AB. Os coeficientes angular e linear da reta r podem ser expressos em  termos das abscissas dos pontos  A = (x1, y1)  e  B = (x2, y2). De fato, como esses pontos pertencem à reta r e à parábola y = ax2, segue que x1 e x2 são as raízes da equação ax2 − mx − k = 0. Isso implica m = a(x1 + x2) e k = −ax1x2.

Considere agora, como na figura, a intersecção P = (x0, y0) de duas cordas AB e CD , cujos suportes são as retas r e s, sendo C = (x3, y3) e D = (x4, y4). Pelo feito anteriormente, temos as equações:

r: y = a(x1 + x2)x − ax1x2 e
s: y = a(x3 + x4)x0 − ax3x4.

Como o ponto P pertence às duas retas, podemos escrever:

a(x1 + x2)x0 − ax1x2 = a(x3 + x4)x0 − ax3x4.

Dividindo por a, desenvolvendo e subtraindo de ambos os membros, fica, sucessivamente:

x1x0 + x2x0 − x1x2 − = x3x0 + x4x0 − x3x4−
x1(x0 − x2) − x0(x0 − x2) = x3(x0 − x4) − x0(x0− x4)
(x1 − x0)(x0 − x2) = (x3 − x0)(x0 − x4).

Tomando os módulos: | x0 − x1 || x2 − x0 | = | x0 − x3 || x4 − x0 |. Reconhecemos que esses módulos das diferenças de abscissas são os comprimentos das projeções sobre o eixo x (ou sobre a diretriz da parábola) dos segmentos determinados pelo ponto P sobre as cordas AB e CD da parábola. Assim, podemos escrever

projx PA× projx PB = projx PC × projx PD .

Observação: Na figura que consideramos, as retas suporte das cordas cortam-se num ponto interior à parábola (dista menos do foco do que da diretriz), mas os cálculos feitos continuam válidos se o ponto P for exterior à parábola (distando mais do foco do que da diretriz). O leitor pode produzir uma figura para este caso.

Note a perfeita analogia com o que acontece na circunferência, em que vale PA× PB = PC × PD , sendo este produto chamado de potência do ponto P em relação à circunferência.

Triângulo inscrito na parábola

Vamos analisar a área de um triângulo formado por três cordas da parábola. Antes, examinaremos a situação análoga para uma circunferência de modo que possamos traçar um paralelo entre as duas situações.

Na figura, a área do ΔABC inscrito na circunferência é , uma vez que sen B = sen D (mesmo arco inscrito) e pode ser obtido no ΔCAD, retângulo em A. Segue .

Agora considere um ΔABC inscrito na parábola y = ax2, como na figura:

A = (x1, y1), B = (x2, y2) e C = (x3, y3).

A área T do ΔABC é dada pelo valor absoluto de

Notando que u = |x2 − x1|, v = |x3 − x1| e w = |x3 − x2| são os comprimentos das projeções dos lados do ΔABC sobre o eixo x (ou sobre a diretriz da parábola) e que , sendo p o parâmetro da parábola, concluímos que a área do triângulo inscrito na parábola é igual a . Um resultado muito parecido com o da circunferência.

Observe que essa fórmula não depende de coordenadas. É uma propriedade métrica de qualquer parábola, a qual vamos repetir:

A área de um triângulo inscrito em uma parábola é igual a , sendo u, v e w os comprimentos das projeções ortogonais dos lados do triângulo sobre a diretriz da parábola, e p o parâmetro da parábola (distância do foco à diretriz).

As figuras a seguir ilustram uma conseqüência interessante dessa propriedade: os triângulos sombreados têm a mesma área T, algo que não seria fácil concluir da simples observação da figura,

Área de um segmento parabólico

Agora estamos preparados para enfrentar um problema que foi resolvido por Arquimedes pelo chamado método de exaustão. Trata-se do cálculo da área de um segmento parabólico, região limitada por uma parábola e uma de suas cordas.

À guisa de ilustração, vamos resolver esse problema apenas no caso de um segmento parabólico limitado por uma corda AB paralela à diretriz da parábola.

A figura da esquerda mostra a corda AB , seu ponto médio M, o ΔABV, sendo V o vértice da parábola, e a diretriz d. Pelo que acabamos de ver, a área T do ΔABV é , sendo u o comprimento da corda AB . Essa área é uma aproximação por falta da área do segmento parabólico. Mas podemos obter uma aproximação melhor, se somarmos a ela as áreas dos dois triângulos ACV e VDB, obtidos também por pontos médios, como na figura da direita.

A área do ΔACV é , o mesmo acontecendo com o ΔVDB. A soma das áreas dos dois é . Portanto, nossa melhor aproximação para a área do segmento parabólico é T + .

Esse processo pode continuar indefinidamente, obtendo sempre melhores aproximações por falta para a área do segmento parabólico, ao adicionar duas parcelas cuja soma das áreas é 1/4 da anterior. Pode-se então mostrar (Arquimedes usava, para isso, triângulos circunscritos formados por tangentes à parábola) que a área S do segmento parabólico é a soma dos infinitos termos de uma PG:

. Como , o resultado expresso em função do comprimento u da corda AB é .

Bibliografia

H.S.M. Coxeter, Introduction to Geometry, 2nd edition. New York: John Wiley & Sons, Inc, 1969.
H.S.M. Coxeter and S. L. Greitzer, Geometry Revisited. New York: Random House, 1967.
http://www.obm.org.br/eureka (Revista Eureka − OBM)
http://www.mat.uc.pt/ (Universidade de Coimbra)
http://proem.pucsp.br/cabri
http://pt.wikipedia.org/