Progressão aritmética de segunda ordem

O estudante Rafael Gomes Meier, aluno do professor Vicente Romeu C. Longo no 2o ano do ensino médio da Fundação Liceu Pasteur, apoiando-se em exemplos numéricos deduziu:

a) uma fórmula para o termo geral de uma PA de segunda ordem;

b) uma fórmula para a soma dos n primeiros termos de uma PA de segunda ordem.

Segue, com pequenas alterações, o trabalho enviado por esse estudante.

Uma seqüência (a1, a2, a3, ...) é uma PA de segunda ordem se as sucessivas diferenças a–a1 , a3–a2, ... formam uma PA.

 

Exemplos:

(1, 4, 9, 16, 25, 36, ...) e (5, 12, 22, 35, ...).

Examinando as seqüências, observamos que as sucessivas diferenças

(4 – 1, 9 – 4, 16 – 9, 25 – 16, ...) = ( 3, 5, 7, 9, ...) e (12 – 5, 22 – 12, 35 – 22, ...) = ( 7, 10, 13, ...) são PAs.

Chamando o primeiro termo da PA de segunda ordem de a1, o primeiro termo da seqüência das diferenças de d1 e a razão da PA (d1, d2, d3,...) de r, observamos:

  No exemplo

Em geral
  1 = 1 a1 = a1 = a1 + 0 × d1 + 0 × r
  4 = 1 + 1 × 3 a2 = a1 + d1 = a1 + 1 × d1 + 0 × r
  9 = 1 + 2 × 3 + 1 × 2 a3 = a2 + d2 = a1 + d1 + d1 + r
      = a1 + 2 × d1 + 1 × r
  16 = 1 + 3 × 3 + 3 × 2 a4 =a3 + d3 = a1 + 2 × d1 + r + d1 + 2 × r
      = a1 + 3 × d1 + 3 × r
  25 = 1 + 4 × 3 + 6 × 2 a5 = a4 + d4 = a1 + 3 × d1 +3× r + d1 + 3 × r
      = a1 + 4 × d1 + 6 × r
  36 = 1 + 5 × 3 +10 × 2 a6 = a5 + d5 = a1 + 4 × d1 + 6 × r + d1 + 4 × r
      = a1 + 5 × d1 + 10 × r
  ...       ...

Lembrando que a seqüência dos números triangulares é

 

número triangular é e esses são os números que aparecem multiplicando r nos exemplos acima.

Assim, an = a1 + (n − 1) × d1 + r × (n – 2)-ésimo número triangular ou

Para obter a soma dos n primeiros termos de uma PA de segunda ordem, observamos inicialmente que cada termo dessa PA é a soma de três parcelas. Para calcular a soma dos n termos,

1) somamos todas as primeiras parcelas, obtendo n × a1;

2) a soma das segundas parcelas é o produto de d1 pela soma dos (n – 1) primeiros números naturais, ou seja, é igual a

3) a soma das terceiras parcelas é o produto de r pela soma dos (n – 2) primeiros números triangulares.

Para achar a soma dos (n – 2) primeiros números triangulares, vamos recorrer ao triângulo de Pascal e uma de suas propriedades:

Observa-se que a soma dos termos de uma coluna até uma determinada linha é igual ao elemento que está na linha e coluna seguintes. Por exemplo, 1 + 3 + 6 = 10 (pintado na figura). Assim,

sendo esta a soma dos n – 2 primeiros números triangulares. Finalizando, somamos os três resultados obtidos e temos que a soma dos n primeiros termos de uma PA de segunda ordem é dada por:

 

Frases retiradas do livro A arte de resolver problemas (Interciência,
1995) de autoria de George Polya

Geometria é a arte de raciocinar corretamente sobre figuras incorretas.

Método é um artifício que você usou duas vezes.
Nota: Esta frase contém um jogo de palavras em inglês:
A method is a device which you used twice.

Se você não estiver conseguindo resolver um problema, é porque existe um problema mais fácil que você também não consegue resolver; encontre-o.

Uma grande descoberta resolve um grande problema, mas há um grão de descoberta em qualquer problema.