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Painel I
Cydara Cavedon Ripoll Na seção PAINÉIS da RPM 61 está publicado um interessante critério de divisibilidade por 7 que é conseqüência do fato de que há múltiplos de 7 terminando com todos os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Mesmo considerando que o assunto " critérios de divisibilidade" tem sido reiteradamente publicado na RPM, como mostra a bibliografia, achamos que valeria a pena mostrar que o critério de divisibilidade por 7 da RPM 61 pode ser generalizado para qualquer outro número que seja relativamente primo com 10, isto é, que não tem os fatores 2 e 5 na sua decomposição em primos. Para isso, basta observar que vale o seguinte resultado que demonstraremos no final do texto:
Vejamos como esse resultado permite, por exemplo, decidir se 9.174.579 é divisível por 17. Como 17 é relativamente primo com 10, sabemos pelo resultado anterior que cada um dos algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 é o algarismo das unidades de um dos números n, 2n, 3n, 4n, 5n, 6n, 7n, 8n ou 9n. E, de fato:
Como 9.174.579 termina em 9, escolhemos 7 × 17 = 119 e fazemos 9.174.579 − 119, obtendo 9.174.460. É propriedade conhecida da divisibilidade que 9.174.579 é divisível por 17 ⇔ 9.174.460 é divisível por 17. Como 17 e 10 são primos entre si, temos, por outra propriedade da divisibilidade, que 9.174.460 é divisível por 17 ⇔ 917.446 é divisível por 17. Continuamos o processo, repetindo essa idéia: 917.446 − 136 = 917.310, já que 8 × 17 = 136 91.731 91.731 − 51 = 91.680, já que 3 × 17 = 51 9.168 9.168 − 68 (4 × 17) = 9.100, já que 4 × 17 = 68 91 91 − 51 = 40, já que 3 × 17 = 51 Finalmente, como flagrantemente 40 não é divisível por 17, concluímos que 9.174.579 também não é.
Demonstração do resultado Consideremos, no conjunto {n, 2n, 3n, 4n, 5n, 6n, 7n, 8n, 9n}, dois números distintos, digamos in e jn, com i ≠ j, i, j = 1, 2, ..., 9. Se in e jn têm o mesmo algarismo das unidades, então o algarismo das unidades de in − jn é zero, ou seja, in − jn = n (i − j)= 10k, com k inteiro. Como, por hipótese, n e 10 são primos entre si, então i − j tem que ser divisível por 10. Mas isso ocorre se e somente se i − j = 0, já que i, j = 1, 2, ..., 9. Logo, i = j, o que mostra que os algarismos das unidades dos números do conjunto {n, 2n, 3n, 4n, 5n, 6n, 7n, 8n, 9n} são todos diferentes entre si e todos não nulos (n e 10 são primos entre si). Como só existem 9 possibilidades para esses algarismos, concluímos que todos eles aparecem como algarismo das unidades em n, 2n, 3n, 4n, 5n, 6n, 7n, 8n e 9n, o que completa a prova.
Painel II
Carlos Grosso Ao número 12 são atribuídos muitos significados, sobretudo de índole religiosa ou espiritual, cuja influência provocou alguns efeitos na organização de nosso cotidiano. O número 12 é associado à idéia da perfeição eterna, de ciclo completo. Porque 12 é o produto do número três pelo número quatro, é interpretado como a manifestação do espiritual no material, representando a relação entre o abstrato e o concreto, entre a Trindade e a Matéria. Na historiografia judaico-cristã, temos os 12 filhos de Jacob, filho de Isaac e neto de Abraão, dos quais derivaram as 12 tribos de Israel. Refere-se ainda que Jacob usava um peitoral sobre o qual haviam sido incrustadas 12 pedras preciosas que são a revelação de 12 poderes cósmicos. Também a coroa usada na sagração da monarquia inglesa tem 12 pedras preciosas. São 12 os deuses principais da mitologia grega, que vivem no Monte Olimpo. O ano tem 12 meses. O zodíaco divide a esfera celeste em 12 casas. O relógio está dividido em 12 horas. A bandeira da União Européia tem 12 estrelas douradas, que, segundo a Comissão Européia, representam a "solidariedade e harmonia entre os povos da Europa", porque o número 12 é "tradicionalmente um símbolo de perfeição, de plenitude e de união". Não consigo acreditar que os números tenham algum significado que os transcenda, porém creio que a natureza abstrata dos números propicia a sua utilização como representantes de significados que os transcendem. Atribuições e interpretações do significado do número 12, sobretudo relacionadas com questões religiosas e sociais, decorrem do fato, do domínio aritmético, de 12 ser o produto de 3 por 4 e, além disso, parece-me que o fato de 12 ter muitos divisores, 1, 2, 3, 4, 6 e 12, pode ter ajudado na sua projeção. É que, entre as quatro operações aritméticas elementares efetuadas no conjunto dos números inteiros, a divisão é a única que nem sempre dá resultados inteiros, sendo uma minoria os casos em que isso acontece. Conjugando esse fato com a circunstância de que a maioria dos seres humanos se mostra mais disponível para o cálculo com inteiros do que com outros tipos de números, compreende-se a importância dada aos números inteiros que se evidenciam por terem muitos divisores como 12, 24 e 60, por exemplo. Mas o objetivo deste artigo é mostar uma intervenção do número 12 numa relação entre os domínios algébrico e geométrico. Consideremos uma função quadrática f(x) = ax2 + bx + c com Δ = b2 − 4ac > 0, condição essa, como bem sabemos, que implica a existência de duas raízes reais distintas da equação ax2 + bx + c = 0. Essas raízes são as abcissas dos pontos em que a parábola, gráfico de f, intersecta o eixo x.
Como é conhecido, as coordenadas dos pontos A, V e B são dadas em função dos coeficientes da função quadrática:
Podemos usar o teorema de Pitágoras para calcular AV:
Por outro lado, Para que AVB seja equilátero, devemos ter AB = AV, o que é equivalente a 12Δ = Δ2 ou, como Δ > 0, é equivalente a Δ = 12.
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