Milton Rosa
Encina Preparatory High School
Sacramento, California − USA

Os estudos dos tabletes babilônios auxiliam no entendimento dos métodos utilizados pelos babilônios para resolver problemas que envolviam a área e as dimensões de quadrados e retângulos ([1]). Historicamente, essa prática matemática babilônia contribuiu para o desenvolvimento de uma solução geral para as equações quadráticas por meio do método de completar quadrados. Porém, na realidade, os babilônios provavelmente estavam interessados nas soluções de problemas desse tipo para resolver questões envolvendo loteamento ou distribuição de terrenos para a lavoura e agricultura, determinação de áreas de terreno necessárias para irrigação, ou determinação de áreas de terreno que eram perdidas pela inundação.

De cordo com ([2]), o problema encontrado no tablete YBC 6967, escrito no dialeto Akkadian por volta do ano 1500 a.C., pode ser considerado um dos primeiros procedimentos nos quais os babilônios aplicaram métodos geométricos para resolver situações envolvendo equações quadráticas.

O comprimento de um retângulo excede a sua largura em sete unidades. A área do retângulo é de 60 unidades quadradas. Determine o comprimento e a largura do retângulo.

Veja, abaixo, a resolução geométrica do problema proposto:

1) Na figura, o comprimento do retângulo excede a largura em 7 unidades. Assim, temos que o comprimento é igual a L e a largura é igual a L + 7. A área do retângulo é 60 unidades quadradas.

2) Recortamos o retângulo de área 7 × L unidades quadradas, em duas metades, cujas áreas são dadas por ×L unidades quadradas.

3) Movemos uma das metades do retângulo de área ×L para o lado inferior do quadrado cuja área é L × L. A figura formada é um quadrado incompleto, que possui a mesma área que o retângulo original.

4) A parte inferior do lado direito da figura é um quadrado com lados que medem unidades cada. A área desse quadrado é .

5) Somamos a área original, 60, com para obter a área do quadrado completo. O resultado é . Então, o lado do quadrado completo é unidades.

6) Recolocamos o retângulo de área unidades quadradas, que está na parte de baixo da figura, na posição em que ele se encontrava originalmente.O retângulo original é formado e suas dimensões podem ser determinadas:

comprimento = + = 12 unidades,

largura = = 5 unidades.

Nota

O procedimento algébrico que descreve o feito geometricamente é:

L(L + 7) = L2 + 7L = 60

Como L > 0, L = =5

Entendo que múltiplas representações para um mesmo problema devem ser estimuladas. Assim, procurei demonstrar uma possível solução geométrica, provavelmente muito utilizada pelos babilônios na antiguidade, para a resolução de equações do segundo grau. De acordo com [2], esse método pode ser interpretado como uma das primeiras práticas matemáticas relacionadas ao método de completar quadrados.

Referências bibliográficas

[1] HOYRUP, J. Lengths, widths, surfaces. A portrait of old Babylonian algebra and its kin. New York: Springer-Verlag, 2002.
[2] JOSEPH, G. G. The crest of the peacock: Non-european roots of Mathematics. Princeton University Press, 1991.