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José Leôncio Ferreira Filho Nas aulas de Matemática da última série do ensino fundamental costuma-se trabalhar o conteúdo "relações métricas num triângulo retângulo" utilizando a teoria da semelhança de triângulos. Esse procedimento foi observado nos livros didáticos que tratam do assunto. A teoria da semelhança não costuma ser explicitada pelos professores, pois se apóia no teorema de Tales, que, apresentado no nível elementar, "esconde" o problema dos segmentos incomensuráveis, visto que esse caso necessitaria de um resultado equivalente à construção dos números reais. Diante disso surge a questão: o conteúdo "semelhança de triângulo" é um pré-requisito para o conteúdo "relações métricas num triângulo retângulo" ou existe uma outra forma de provar as relações sem a semelhança? O objetivo deste texto é apresentar uma dessas outras formas utilizando-se áreas: basta o conhecimento que a área de um retângulo é igual ao produto das medidas dos dois lados. No entanto, deve-se destacar que esse resultado costuma ser postulado no nível elementar, pois a sua demonstração apresenta as mesmas dificuldades da teoria da semelhança.
A seguir, a área do quadrado maior é calculada de duas maneiras diferentes: A partir dessa apresentação do teorema de Pitágoras, inicia-se a prova das relações métricas mais solicitadas nos livros didáticos. O desenho abaixo será o nosso apoio visual.
Como provar que h2 = mn? Aplicando o teorema de Pitágoras nos triângulos ACH e ABH, teremos: c2 = h2 + m2 e b2 = h2 + n2. Logo, c2 + b2 = 2h2 + m2 + n2. Mas c2 + b2 = a2. Logo, a2 = 2h2 + m2 + n2. Substituindo a por m + n, teremos (m + n)2 = 2h2 + m2 + n2 ou h2 = mn.
Como provar que c2 = am e que b2 = an? Substituindo h2 por mn em c2 = h2 + m2, teremos c2 = mn + m2 = m(n + m) = am. De forma análoga, temos b2 = h2 + n2 = mn + n2 = n(m + n) = an. Finalmente, para provar a relação bc = ah, basta efetuar o produto b2c2 a partir das igualdades c2 = am e b2 = an. Teremos b2c2 = anam = a2nm = a2h2, implicando bc = ah. Um fato interessante a destacar é que, nos livros didáticos, as relações métricas nos triângulos retângulos são usadas como recurso para provar o teorema de Pitágoras. Em relação a essa utilização, há um apoio nos PCN (1998, p. 127):
Encerramos esse texto deixando uma questão: por que não utilizar o teorema de Pitágoras para provar as relações métricas num triângulo retângulo, e não o contrário?
Bibliografia FERREIRA FILHO, J. L. Um estudo sobre argumentação e prova envolvendo o teorema de Pitágoras. Dissertação de mestrado − PUC/SP, 2007.
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Para tratar as relações métricas num triângulo retângulo pelo método das áreas, é preciso inicialmente apresentar o teorema de Pitágoras por meio do conceito de área. Essa prova encontra-se na maioria dos livros didáticos. Esboçaremos a seguir as principais idéias. A partir da configuração ao lado (quadrado maior, quatro triângulos retângulos congruentes) prova-se que o quadrilátero interno é um quadrado. 
, que implica a