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Responsáveis Envie suas perguntas para: ♦ Contagem e ... contagem Uma leitora do Rio de Janeiro nos enviou duas questões de contagem parecidas, mas com uma diferença impor-tante, que ilustram um problema comum em contagem: identificar e eliminar as repetições. 1) De quantas maneiras diferentes podem ser distribuídos doze funcionários de um banco em três agências, de modo que cada agência receba quatro funcionários? 2) Nove pessoas serão distribuídas em três equipes de três para concorrer a uma gincana. O número de maneiras diferentes de formar as três equipes é menor do que 300? RPM Solução de 1): Para maior clareza, vamos identificar as três agências por cores, digamos, amarela, azul e vermelha. Escolhemos primeiro os 4 funcionários da agência amarela. Há Feita uma tal escolha, sobram 8 funcionários, entre os quais selecionamos 4 para trabalhar na agência azul, o que dá Finalmente, uma vez selecionados esses 8 funcionários, sobram apenas 4 para trabalhar na agência vermelha e, portanto, só temos uma possibilidade para fazer essa escolha. Pelo Princípio Multiplicativo, o número total de maneiras de formar as equipes das agências é igual a
Solução de 2): Podemos começar raciocinando como no problema anterior. Escolhemos primeiro 3 pessoas dentre as 9 para formar uma equipe e, em seguida, 3 pessoas dentre as 6 que sobraram para formar outra equipe. As 3 que restaram formarão, necessariamente, uma equipe. Portanto, como antes, o número total de maneiras de fazer a escolha é Entretanto, agora existem repetições a levar em conta, pois o fato de uma equipe ter sido escolhida na primeira, segunda ou terceira escolha é irrelevante; só nos interessa a constituição das equipes e não o processo ou a ordem de escolha. Para esclarecer esse ponto, vamos supor que as pessoas sejam a, b, c, d, e, f, g, h, i. Suponhamos que primeiro escolhemos a equipe {a, c, e}, depois a equipe {b, d, f} e, finalmente (por falta de opção), a equipe {g, h, i}. Isso dá uma divisão do grupo de 9 pessoas em 3 equipes, que vamos indicar como: {{a, c, e}, {b, d, f}, {g, h, i}}. Suponhamos agora que primeiro escolhemos a equipe {b, d, f}, depois a equipe {g, h, i} e, finalmente, a equipe {a, c, e}. Isso dá a divisão do grupo de 9 pessoas: {{b, d, f}, {g, h, i}, {a, c, e}}. Mas {{a, c, e}, {b, d, f}, {g, h, i}} = {{b, d, f}, {g, h, i}, {a, c, e}} e, portanto, se a finalidade for apenas formar as equipes, as duas escolhas dão o mesmo resultado. Observe que isso não ocorre no primeiro problema porque lá interessa saber para qual agência cada equipe foi designada, o que é determinado pela ordem na escolha. Finalmente, observemos que, no problema atual, cada divisão em equipes pode ser feita de 3! maneiras distintas, correspondentes à ordem em que elas foram escolhidas pelo procedimento descrito. Portanto, o número de maneiras diferentes de dividir o grupo em equipes é:
♦ Parábolas e ... parábolas Dois leitores, um de Mato Grosso do Sul e outro do Rio de Janeiro, enviaram questões de álgebra cuja visualização pode ser feita traçando o gráfico de parábolas. 1) Questão de um concurso de Professor de Matemática do Município do Rio de Janeiro : Considerem-se as funções quadráticas definidas por y = (a + 1)x² − 2ax − (3a + 7) na variável x , com o parâmetro a. Todos os gráficos dessas funções apresentam uma corda comum. O comprimento da corda é: a) 5 2) Resolver o sistema RPM Solução de 1): Se todos os gráficos têm uma corda comum, podemos fazer a = 0 e, depois, a = 1 para achar essa corda comum: Para a = 0, obtém-se y = x2 − 7 e para a = 1, y = 2x2 − 2x − 10. As abcissas dos pontos de intersecção dessas duas parábolas são as soluções 3 e −1 de x2 − 7 = 2x2 − 2x − 10 e os pontos de intersecção são (3, 2) e (−1, −6). O comprimento da corda é Supondo que o enunciado esteja correto, a questão está resolvida. Podese, adicionalmente, verificar que os pontos (3, 2) e (−1,−6) pertencem a todas as parábolas, independentemente do parâmetro a. De fato, para x = 3, (a + 1)9 − 6a − (3a + 7) = 2 e Solução de 2): A solução (x, y) = (3, 2) pode ser obtida por "adivinhação" ou substituindo y = 11 − x2 na segunda equação: x4 − 22x2 + x + 114 = 0. Os divisores de 114 são 1, 2, 3, 19 e 114; portanto, as raízes racionais dessa equação só podem ser: ±1, ±2, ±3, ±19 e ±114. Verifica-se que apenas x = 3 é raiz racional e, para esse valor de x, obtém-se y = 2. Então, x4 − 22x2 + x + 114 = 0 ⇔ (x − 3)(x3 + 3x2 − 13x − 38) = 0. A equação x3 + 3x2 − 13x − 38 = 0 não tem raízes racionais, pois as únicas possíveis, 1, 2, 19 ou 28, não são raízes. Usando um programa de computador, obtivemos valores aproximados das raízes irracionais, que, com os respectivos valores de y, fornecem as outras três soluções aproximadas do sistema: (3,584; −1,848), (−2,805; 3,131) e (−3,779; −3,283). Era de se esperar que o sistema tivesse quatro soluções: a primeira equação é a de uma parábola com eixo paralelo a Oy, y = −x2 + 11, e a segunda uma parábola, x = −y2 + 7, com eixo paralelo a Ox:
As parábolas acima podem ser desenhadas sem o uso de um computador e a precisão das respostas vai depender da precisão dos desenhos. Pode-se também achar as soluções da equação do terceiro grau usando a fórmula de Tartaglia/Cardano (RPM 25): Substituindo x por x − 1 na equação original, obtém-se a equação x3 –16x – 23 = 0 cujas raízes são dadas por
expressão essa que acaba caindo em Agora, uma tabela das funções trigonométricas, a fórmula de Moivre e mais um pouco de trabalho permitirão obter os três valores de x. Viva o computador! |
maneiras distintas de fazer essa escolha. 
possibilidades. 
b) 2 
