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Problemas

281. Simplifique:

282. Prove que, se x e y são inteiros tais que N = (x + 6y)(2x + 5y)(3x + 4y) é múltiplo de 7, então N é múltiplo de 343.

283. Num plano são dadas três circunferências de raios distintos entre si e cujos interiores são dois a dois disjuntos. Mostre que os três pontos de intersecção das tangentes externas dos três pares de circun-ferências são colineares.

284. Dado um ângulo qualquer  AB  com  AO = BO,  dividimos  AB  em  3  partes iguais: AC = CD = BD. Pergunta-se: existe algum AB para o qual os ângulos AC , CD e BD são congruentes?

285. Seja w a raiz quinta da unidade

a) Mostre que, para n inteiro,

b) Mostre que, para n inteiro positivo, a quantidade de subconjuntos de {1, 2, 3, ..., n} com número de elementos igual a um múltiplo de 5 é igual a:

1. Em termos de peso, sabe-se que duas bolas marrons equivalem a três bolas brancas, que equivalem a cinco bolas pretas; duas bolas pretas equivalem a sete bolas verdes e uma bola verde equivale a três bolas amarelas. Num dos pratos de uma balança de comparação foram colocadas quatro bolas marrons, catorze bolas verdes e trinta e três bolas amarelas. No outro prato foram colocadas três bolas brancas e sete pretas. Quantas bolas verdes devem ser colocadas no último prato para equilibrar a balança?

2. Em relação à população de uma cidade, a razão entre o número de homens e mulheres é 2/3. A idade média dos homens é 37 anos e das mulheres é 42 anos. Qual é a idade média dos habitantes dessa cidade?

3. Numa escola há um professor para cada grupo de 30 alunos. Se a escola contratar mais 4 professores, passará a ter um professor para cada grupo de 25 alunos. Quantos alunos tem a escola?

(Retirados do livro Para gostar de Matemática de Chico Nery.)

Respostas na página: Fazendo contas com a CPMF.

271. Na figura, AD = 2BD. Determine α.

Solução

Traçamos a perpendicular à reta CD, por A, que corta o segmento CD no ponto E, pois AC é agudo (mede 60o).

O ΔBDE é isósceles, pois DE = 2acos 60o= a = BD. Logo, o ΔBEC é isósceles, pois EC mede 15º e, portanto, BE = EC. Além disso, BE = AE, pois ΔBEA é isósceles, já que AE e BE medem 30º. Logo, AE = EC e o ΔAEC é isósceles com EC medindo 45º. Assim, α = 75o.

(Solução enviada pelo proponente do problema, Amadeu Carneiro e Almeida)

Observações

1. O leitor André Silva, RJ, comenta que no site www.gogeometry.com é possível encontrar outros problemas desse tipo.

2. Este problema também pode ser resolvido utilizando-se a lei dos senos ou dos cossenos, como fizeram vários leitores.

272. Encontre as raízes reais da equação

Solução

Para que a equação tenha solução real é necessário que 2x − 1 0, isto é, x . Nesse caso, o primeiro radicando é sempre positivo e para ver que basta observar que:

Para x 1/2, tem-se: x é solução da equação se e somente se

Logo, o conjunto solução da equação é o intervalo S = [1/2, 1].

(Solução adaptada das enviadas por vários leitores.)

273. Dispõe-se de n cartas de 2 unidades de comprimento cada, empilhadas na borda de uma mesa, como mostra a figura.

a) Mostre que o centro de gravidade da pilha de cartas está exatamente sobre o bordo da mesa e, portanto, o arranjo acima é estável.

b) Mostre que existe n para o qual a pilha se estende horizontalmente a pelo menos 2008 unidades de comprimento, a partir do bordo da mesa.

Solução

a) Adotando o bordo da mesa como origem, temos que as abscissas dos centros de massas das cartas, de baixo para cima, são iguais a

Assim, a abscissa do centro de massa do conjunto é a média aritmética dos valores acima (pois todas as cartas têm a mesma massa e mesmas dimensões), isto é,

Em outras palavras, o centro de massa está exatamente sobre o bordo da mesa e portanto o arranjo é estável.

b) O arranjo com n cartas se estende à distância do bordo da mesa. Para n = 2k, temos

Portanto, podemos fazer com que o arranjo se estenda a distâncias arbitrariamente grandes do bordo da mesa, bastando tomar n = 2k para k suficientemente grande.

(Solução adaptada das enviadas por vários leitores.)

Observação: Conforme observaram muitos leitores, o que fizemos em b) foi mostrar que a série harmônica é divergente. Esse assunto foi abordado, por exemplo, na RPM 30, p. 15, e na RPM 42, p. 32.

274. Prove que:

a) num triângulo retângulo, a medida da mediana relativa à hipotenusa é igual à metade da medida da hipotenusa.

b) todo triângulo pode ser decomposto em n triângulos isósceles, para todo n 4.

Solução

a) No ΔABC, retângulo em B, M é o ponto médio de AC e MH é perpendicular a BC. Como BH = HC, o ΔBMH e o ΔCMH são congruentes e, portanto, BM = MC = AM. Assim, todo triângulo retângulo pode ser decomposto em dois triângulos isósceles ΔABM e ΔBMC.

b) Dado um ΔPQR, qualquer, traçamos uma altura interna que o decompõe em dois triângulos retângulos. Usando a), vemos que o ΔPQR pode ser decomposto em n = 4 triângulos isósceles. Repetindo o procedimento em um, dois, três ou quatro desses triângulos, decompõe-se o ΔPQR em sete, dez, treze ou dezesseis triângulos isósceles (que passaremos a chamar de partes). E assim por diante, ο ΔPQR pode ser decomposto em n = 4 + 3k partes, ∀k ∈ Ν. Para decompor em n = 5 partes, consideremos dois casos:

i) ΔPQR não é equilátero. Decompomos o triângulo em dois triângulos, um deles isósceles, e aplicamos a) no outro (dividido em dois triângulos retângulos), obtendo 5 partes. Repetindo o procedimento de a) em uma, duas, três, quatro ou cinco partes, decompõe-se o ΔPQR em oito, onze, catorze, dezessete ou vinte partes. E assim, em n = 5 + 3k partes, ∀k ∈ Ν.

ii) ΔPQR é equilátero. Uma altura separa o ΔPQR em dois triângulos retângulos. Num deles aplicamos a), obtendo duas partes, e decompomos o outro num triângulo isósceles e outro retângulo com vértice comum no circuncentro C do ΔPQR. Aplicando a) nesse triângulo retângulo, decompõe-se o ΔPQR em n = 5 partes. Como em i), mostra-se que é possível decompor o ΔPQR em n = 5 + 3k partes,∀k ∈ Ν.

Um ΔPQR não equilátero pode ser decomposto em três triângulos, sendo dois isósceles, e aplicando a) no terceiro triângulo (dividido em dois triângulos retângulos), decompomos o ΔPQR em n = 6 partes.

Se ΔPQR é equilátero, utilizando o circuncentro C, decompomos em três partes, e aplicando a) numa delas obtemos a decomposição em 6 partes. Como nos casos anteriores, o ΔPQR pode ser decomposto em n = 6 + 3k partes,∀k ∈ Ν.

(Solução adaptada das enviadas por André Silva, RJ, e Davi Antunes, SP.)

275. Dispomos de contas de a cores distintas e queremos montar colares com n contas cada um. Dois colares são indistinguíveis se um pode ser obtido a partir do outro através de uma rotação como, por exemplo, os da figura.

a) Quantos colares distintos de n = 4 contas podemos montar se dispomos de contas de a = 7 cores?

b) Se n é primo, mostre que podemos montar (an − a)/n + a colares distintos com n contas (dispondo-se de contas de a cores). (Certifique-se de que você utilizou o fato de que n é primo!)

c) Conclua que, se n é primo e a é um inteiro qualquer, então an − a é um múltiplo de n.

Solução

a) Por rotação, cada colar dá origem a 1, 2 ou 4 quádruplas ordenadas (x, y, z, w), em que x, y, z, w representam cores. O primeiro caso só ocorre se x = y = z = w, num total de 7 quádruplas. O segundo caso só ocorre se x = z ≠ y = w, num total de 7 × 6 = 42 quádruplas. Todas as demais 74 − 7 − 42 = 2.352 quádruplas se encaixam no terceiro caso. Assim, o total de colares é

b) Como n é primo, neste caso cada colar dá origem ou a 1 ou a n n-uplas ordenadas. O primeiro caso só ocorre quando todas as contas têm a mesma cor, num total de a n-uplas. O segundo caso encerra todas as (an − a) n-uplas restantes. Logo, o total é (an − a)/n + a.

c) Se a 0, a contagem anterior mostra que (an − a)/n é um inteiro.

Se a < 0 e n é ímpar, temos que (an − a)/n = −[(−a)n − (−a)]/n, que é um inteiro pelo caso anterior. Finalmente, se a < 0 e n = 2, então (a2 − a)/2 é inteiro, pois a2 − a = a(a − 1) é par, sendo o produto de dois inteiros consecutivos.

Portanto, em todos os casos temos que an − a é um múltiplo de n.

* Como ninguém acertou os 5 problemas, esses leitores que acertaram 4 problemas receberão os prêmios relacionados na RPM 65.