Roosevelt Bessoni e Silva

Observe que, para os números primos 7 ou 13, tem-se

dízimas com período de 6 (número par) algarismos. Partindo-se os períodos "na metade", temos: 142 + 857 = 999 ou 076 + 923 = 999.

Para o número primo 17, , dízima com período de 16 algarismos, também, 05882352 + 94117647 = 99999999.

A propriedade ilustrada nos exemplos foi demonstrada em 1836, em um artigo de autoria do matemático francês E. Midy (mencionado em um rodapé do livro de Dickson, L.E. History of the Theory of numbers, Chelsea Publishing Company, New York, 1971). Na verdade temos o Teorema de Midy: Se p é um número primo maior que 5 e 1/p tem representação decimal periódica com período de 2n algarismos, n natural, então ai + an + i = 9, 1 i n, ou a1a2... an + an + 1an + 2 ... a2n = 10n − 1.

Uma generalização desse resultado, ilustrada no exemplo a seguir, também é válida. Consideremos , dízima com período de 18 algarismos. Dividindo-se os algarismos em blocos de tamanho k (divisor de 18), tem-se que o resultado da soma dos algarismos de cada bloco é um múltiplo de 10k − 1. Por exemplo,

052631 + 578947 + 368421 = 999999
052 + 631 + 578 + 947 + 368 + 421 = 2997 = 3 × 999
05 + 26 + 31 + 57 + 89 + 47 + 36 + 84 + 21 = 396 = 4 × 99.

Referências

www.integers-ejcnt.org/vol7.html e http://mathworld.wolfram.com/