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Fábio Silva Melo As secções cônicas e suas propriedades refletoras são utilizadas, na prática, para a construção de antenas parabólicas ou espelhos refletores ([5]). Estes últimos podem ser parabólicos, elípticos ([4]) ou hiperbólicos, e a propriedade refletora da elipse é também explorada, por exemplo, na construção de salas com boa acústica para apresentações musicais. Em todas as aplicações que já nos foram apresentadas, a reflexão do raio luminoso ou da onda sonora em cada ponto da curva segue a lei da reflexão em relação ao espelho plano (figura 1) representado, num corte transversal, pela reta tangente à curva no ponto (figura 2).
As tangentes a uma cônica podem ser construídas a partir de dobraduras; vamos mostrar como obtê-las em uma atividade que pode acompanhar o estudo das cônicas na Geometria ou Geometria Analítica no ensino médio. Se as dobraduras forem feitas em papel vegetal, veremos claramente, contra a luz, a curva obtida; um papel comum que permita que a dobra fique bem marcada também nos permite visualizar bem a curva cujas tangentes são as retas produzidas pelas dobras.
Em uma folha desenhamos uma circunferência de centro O e raio 2a, a > 0, e marcamos um ponto A no interior da circunferência, distinto do centro. Dobramos a folha de maneira a sobrepor um ponto da circunferência ao ponto A. Repetindo o processo sucessivas vezes, obtemos uma elipse envolta por suas tangentes (figura ao lado); os pontos O e A serão os focos da elipse. A justificativa é a seguinte: ao se dobrar o papel fazendo um dos pontos da circunferência, digamos, X, sobrepor A, determinamos na dobra a reta t que é a mediatriz do segmento XA , isto é, a reta que passa pelo ponto M, ponto médio do segmento XA e que é perpendicular ao segmento. O Podemos provar (a prova não é tão elementar) que a reta t tangencia a elipse no ponto P, conforme está ilustrado na figura anterior.
Escolhemos, no papel, uma reta r e um ponto F com F Para justificarmos esse processo basta observar que, quando se faz um ponto X da reta r sobrepor F, obtemos na dobra uma reta t que é a mediatriz de XF por M, conforme a figura. O ponto P
Desenhamos uma circunferência de centro O e raio 2a e marcamos um ponto A fora dela. Dobramos a folha repetidas vezes, de modo que um ponto X da circunferência se sobreponha ao ponto A. Pouco a pouco vão surgindo no papel dois ramos de uma hipérbole envolta por suas tangentes.
Justificamos o processo observando que, ao colocar um ponto X da circunferência sobre A, produzimos novamente, na dobra, uma reta t que é a mediatriz de XA por M. Podemos verificar que a reta t tangencia a curva no ponto P, ponto de intersecção da reta t com a reta pelos pontos O e X, como vemos na figura abaixo.
Temos os triângulos ΔPMX e ΔPMA congruentes pelo caso LAL, logo PX ≡ PA. Conseqüentemente, PO − PA = PO − PX = OX = 2a, que é constante, pois se trata do raio da circunferência. Portanto, o ponto P pertence à hipérbole, que, por definição, é a curva em que a diferença das distâncias de qualquer um de seus pontos a cada um dos pontos fixos (os seus focos) se mantém constante.
Referências bibliográficas [1] BONGIOVANNI, Vincenzo. As cônicas como ferramentas para resolver problemas geométricos. RPM 60. |
As tangentes à elipse 
ponto P, obtido como ponto de intersecção da reta t com o segmento OX , é um ponto da elipse cujos focos são os pontos O e A. Verificamos esta última afirmação observando que a congruência LAL dos triângulos ΔAPM e ΔXPM nos garante que a soma das distâncias PO + PA = PO + PX = R, sendo R = 2a o raio da circunferência inicial. Temos, então, a propriedade métrica que define a elipse cujos focos são O e A e cujo semi-eixo maior é o raio da circunferência. 
As tangentes à parábola 
r. Dobramos o papel de modo a sobrepor pontos da reta r ao F. Repetindo o processo algumas vezes, temos uma parábola envolta por suas tangentes. 
pertencente à parábola é o ponto de intersecção da reta t com a reta perpendicular à reta r pelo ponto X. Lembramos que a definição da parábola a partir de uma reta e um ponto fixo fora dela nos diz que ela é a curva que contém os pontos equidistantes do ponto (o foco F) e da reta (a reta diretriz r). Essas distâncias são PX e PF e são iguais, pois o ponto P é um ponto da mediatriz de XF . Podemos mostrar que a reta t, que tem o ponto P em comum com a parábola, é, por esse ponto, tangente a ela. 
As tangentes à hipérbole 