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Mágica com números? Lúcia Resende P. Bonfim Neste artigo propomos uma interessante "brincadeira" cuja aplicação em sala de aula instiga a curiosidade do aluno e, possivelmente, propicia a abordagem de alguns temas da teoria dos números, propriedades da seqüência de Fibonacci, e algumas questões de convergência. A brincadeira propriamente dita
− Qual a soma dos dez números? Antes que ele termine de fazer a conta e sem conhecer os dois números iniciais que ele escolheu, é possível você dizer qual é a soma desde que ele forneça o sétimo elemento da lista. Se você for hábil na multiplicação por 11, terá a capacidade de fornecer rapidamente o resultado: 11 vezes o elemento da sétima linha. No exemplo da tabela, a soma é 1 727, que é o produto de 11 por 157. Se isso não for suficiente para despertar a curiosidade do aluno, você pode ainda "adivinhar" o resultado da divisão da linha 10 pela linha 9, com duas casas decimais, e agora sem o conhecimento de qualquer número da lista. Esse quociente, com duas casas decimais, será igual a 1,61 quaisquer que sejam os dois números inteiros escolhidos no início da brincadeira. Pode-se entregar aos alunos, no início das atividades, um envelope fechado contendo o valor 1,61 anotado. Por que o truque funciona?
Para explicar a divisão da linha 10 pela linha 9, vamos usar a seguinte propriedade P: Se a, b, c e d são números positivos tais que Prova de P De Voltemos à brincadeira. Temos: A seqüência de Fibonacci A seqüência de Fibonacci, abordada em vários exemplares da RPM, é definida recursivamente por:
ou seja, seus dois primeiros termos são iguais a 1, e cada termo da seqüência a partir do terceiro é a soma dos dois anteriores. Observe que na atividade sugerida também se obtém um termo da seqüência somandose os dois anteriores, com a diferença que os dois números iniciais não são necessariamente iguais a 1. Logo, é natural que as propriedades da seqüência de Fibonacci possam ser reinterpretadas na seqüência construída pelo aluno. Escrevendo os primeiros termos da seqüência de Fibonacci, encontramos 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,... . Observe na tabela da página anterior que esses são os coeficientes de y nas linhas de 2 a 10. A partir da terceira linha vemos também que os coeficientes de x fornecem os termos da seqüência de Fibonacci. Assim, se quisermos instigar de fato o aluno, podemos pedir pra ele avançar na lista. Ele obterá, por exemplo, nas linhas 24 e 25 os números 17711x + 28657y e 28657x + 46368y, respectivamente. Assim, o quociente desses dois números estará compreendido entre Uma pergunta natural que surge é a seguinte: Se avançarmos na seqüência, calculando cada vez mais termos, para qual número os quocientes de termos sucessivos se aproximam? O próximo resultado responderá a essa questão. Proposição: A razão Uma demonstração dessa proposição pode ser encontrada, por exemplo, na RPM 6, p. 9. O número de ouro O número irracional
Bibliografia BOYER, C. História da Matemática. São Paulo: Edgar Blücher, 1996. |
Dê ao aluno uma folha com dez linhas em branco, numeradas de 1 a 10, e peça a eles para escolher dois números inteiros, digamos entre 1 e 20, e anotá-los nas duas primeiras linhas. Feitas as escolhas, solicite ao aluno que ele escreva, em cada linha, a partir da terceira, a soma das duas linhas anteriores até chegar na décima linha. Veja o exemplo da tabela ao lado. Terminada a construção da lista, pergunte: 
, então 
está entre 
e 
. 
. De modo análogo prova-se que 
. 
e 
logo, 
ou 
Por P, o resultado da divisão 
da linha 10 pela linha 9 estará entre os números 21/13 e 34/21, o que confirma que o quociente independe dos valores iniciais x e y, e o seu valor com duas casas decimais é 1,61. 
. Como ocorre coincidência em sete casas decimais, isso permitirá ao professor "adivinhar" o quociente com um grau de precisão melhor, sem o conhecimento prévio dos números iniciais x e y, ou de qualquer outra informação. 
entre termos consecutivos da seqüência de Fibonacci aproxima-se do número 
, cujo valor aproximado com nove casas decimais é 1,618033989. 
é chamado número de ouro ou razão áurea, e aparece em várias situações, muitas das vezes como sinônimo de beleza, harmonia e perfeição. A razão áurea pode ser vista, por exemplo em obras de Leonardo da Vinci. Freqüentemente aparece nas pinturas renascentistas. Na Geometria, dentre as várias maneiras de dividir um segmento AB em duas partes, a divisão áurea é a que parece estar mais de acordo com o conceito de belo do ser humano. A divisão áurea consiste em tomar um ponto C entre A e B com CB sendo o segmento maior, tal que AB/CB = CB/AC. Um cálculo fácil mostra que a razão AB/CB é exatamento o número de ouro (ver RPM 6).