Rubens Vilhena
UEPA − Universidade do Estado do Pará

Introdução

Qualquer um que já passou pela experiência prazerosa de conseguir, depois de muito esforço, fatorar uma expressão algébrica complicadíssima e, com isso, obter uma expressão muito mais simples, sabe da importância que é conhecer e dominar novos casos de fatoração. Afinal, qual será o próximo desafio algébrico que nos aguarda?

Lendo o livro Mathematical Olympiad Treasure, dos autores T. Andreescu e Bogdan Enescu, resolvi compartilhar com os leitores uma fatoração e as lições que podemos extrair dela.

Por exemplo, que tipo de fatoração usar para resolver as três questões abaixo?

1) Fatore (x − y)3 + (y − z)3 + (z − x)3.

2) Prove que é um número inteiro.

3) Sejam x, y e z inteiros, tais que

(x − y)2 + (y − z)2 + (z − x)2 = xyz.

Prove que x3 + y3 + z3 é divisível por x + y + z + 6.

Se você é daqueles que adoram um desafio, esteja à vontade para sair e tentar solucioná-los. Depois, volte e eveja como pode ser interessante ver o que se esconde por trás de uma fatoração.

Uma interessante identidade algébrica

Comecemos por fatorar a expressão a3 + b3 + c3 − 3abc.

Consideremos o polinômio

P(x) = x3 − (a + b + c)x2 + (ab + bc + ca)x − abc.

As raízes de P(x) são a, b e c, pois P(a) = P(b) = P(c) = 0, ou

a3 − (a + b + c)a2 + (ab + bc + ca)a − abc = 0

b3 − (a + b + c)b2 + (ab + bc + ca)b − abc = 0

c3 − (a + b + c)c2 + (ab + bc + ca)c − abc = 0.

Adicionando essas três igualdades, obtemos a expressão (*) abaixo:
a3 + b3 + c3 − (a + b + c)(a2 + b2 + c2) + (ab + bc + ca)(a + b + c) − 3abc = 0

Portanto,

a3 + b3 + c3 − 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca) (I)

Uma outra maneira de obter (I), usando determinantes, está na RPM 41, p. 38.

podemos escrever a igualdade (I) como:

Aplicação

Vejamos como resolver os três problema propostos no início.

1) Fatore (x − y)3 + (y − z)3 + (z − x)3.

Solução

Observe que, se a + b + c = 0, de (I) temos que a3 + b3 + c3 = 3abc.

Pelo fato de (x − y) + (y − z) + (z − x) = 0, obtemos a fatoração

(x − y)3 + (y − z)3 + (z − x)3 = 3(x − y)(y − z)(z − x).

2) Prove que é um número inteiro.

Solução

Seja x = . Então, .

Já vimos que a + b + c = 0 implica a3 + b3 + c3 = 3abc. Sendo assim, ou x3 + 3x − 4 = 0.

As raízes dessa equação são 1 e . Uma vez que queremos real, vem = 1, que é um número inteiro.

3) Sejam x, y e z inteiros, tais que (x − y)2 + (y − z)2 + (z − x)2 = xyz.

Prove que x3 + y3 + z3 é divisível por x + y + z + 6.

Solução

Note que pelo menos um dos termos x, y e z em

(x − y)2 + (y − z)2 + (z − x)2 = xyz

tem que ser par. De fato, se x, y e z fossem todos ímpares, o lado esquerdo da igualdade seria par, enquanto o lado direito seria ímpar, uma contradição.

De acordo com (II)

por hipótese, (x − y)2 + ( y − z)2 + (z − x)2 = xyz , logo

um dos números x, y ou z é par, a prova está concluída.

Uma questão didática

Uma grande dificuldade para muitas pessoas é tentar descobrir o modus operandi da Matemática. Veja que, no início, dedicamos um bom tempo para trabalhar uma questão abstrata referente à fatoração de uma expressão, sem nenhuma "utilidade" aparente. A partir dessa questão "sem sentido" (ou como dizem os que não percebem o valor do trabalho matemático abstrato: "Para que serve isso?"), foram buscadas relações ainda mais abstratas. Tendo construído o edifício teórico, a questão geral sobre o problema foi resolvida. Aparentemente um trabalho sem nenhum valor para muitos (e assim pode continuar sendo pela vida toda de alguns, de acordo com sua perspectiva). Então, surgem três problemas aparentemente sem nenhuma relação entre si. Imagine o quanto se iria desperdiçar de tempo ao atacar cada problema de forma isolada? E esse é um dos perigos de um ensino de Matemática excessivamente utilitarista. No caso desses problemas, como já existia uma teoria geral desenvolvida, que une várias informações, foi possível resolver os três de forma relativamente simples e unificada. Assim acontece em questões práticas, nas quais a Matemática contribui para uma leitura mais profunda do fenômeno que se está observando. O método matemático analisa a questão em sua generalidade, ajudando, a quem precisa dar as melhores respostas, em situações particulares. Ou então, com suas teorias abstratas, analisa a validade ou a viabilidade dessa situação. Quem poderia dizer que um assunto antigo como números primos seria uma questão central do comércio eletrônico, privacidade das comunicações e na segurança de muitas nações? Infelizmente em Matemática muitos perdem a noção da floresta, porque só enxergam as árvores...

Nota da RPM

As relações entre polinômios tratadas no artigo Fatoração forte fazem parte da teoria dos polinômios simétricos. Nos livros didáticos atuais do ensino médio, os polinômios simétricos só aparecem nas relações de Girard, que relacionam os coefecientes de um polinômio com suas raízes. Nessas fórmulas aparecem os chamados polinômios simétricos elementares. A equação (*) deste artigo é uma das identidades de Newton, que exprimem os polinômios   k natural, em termos dos polinômios simétricos elementares.