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Guillermo Zamalloa Torres Introdução Em nossa trajetória de professores de Matemática, somos testemunhas de muitas situações que devemos superar para satisfazer a curiosidade ou elucidar dúvidas daqueles que nos consideram como paradigmas. É uma dessas situações que serve de âncora para este estudo sobre juros incidentes nas prestações pagas por uma dívida. Um amigo meu, convicto da necessidade de adquirir um computador para desenvolver suas atividades profissionais, e não contando com os recursos financeiros para comprá-lo à vista, pesquisou sobre como poderia obter o dinheiro emprestado. Trouxe-me três alternativas, pedindo-me esclarecimentos que as justificassem, já que eram bastante díspares. Ele precisava de um empréstimo de R$ 1.500,00 e estava disposto a pagá-lo em dez prestações mensais, sem entrada, isto é, pagando a primeira um mês depois do empréstimo. A primeira alternativa foi produzida por um agiota, que lhe informou que o seu dinheiro "valia 5% ao mês" a juros compostos, resultando em dez prestações de R$ 244,33. A segunda alternativa foi produzida pela loja que vendia o computador, que informou estar cobrando uma taxa de 5% ao mês, resultando em dez prestações de R$ 225,00. A terceira alternativa provinha de um banco que, para emprestar a quantia solicitada a juros compostos de 5%, cobrava dez prestações de R$ 198,10. Se a questão fosse qual a alternativa escolher, não haveria dúvida que a terceira seria a melhor. O problema era justificar cada uma delas. Como foram efetuados os cálculos em cada caso? O agiota, visando ao maior lucro, capitalizou o empréstimo à taxa estipulada de 5% de juros compostos durante dez meses e o montante foi dividido em dez prestações iguais, como segue: Usando a fórmula M = C0(1 + i)t, chegamos a M = 1500(1 + 0,05)10 = 2443,34, que, dividindo por 10, resulta nas 10 prestações de R$ 244,33. O lojista projetou a dívida considerando 5% de juros simples por dez meses, resultando em um acréscimo de 50% sobre o valor da dívida. Finalmente o montante é dividido em dez prestações. Usando a fórmula M = C0(1 + ti), chega-se a M = 1500(1 + 10 × 0,05) = 2250. Dividindo o montante por 10, obtemos as prestações de R$ 225,00. O cálculo efetuado pelo banco, com o qual erroneamente concordam alguns autores de livros didáticos do ensino médio, é desenvolvido da maneira a seguir. A dívida contratada é dividida em dez parcelas iguais, obtendo-se R$ 150,00. Como as parcelas serão pagas mensalmente ao longo dos próximos dez meses, cada uma delas é projetada para a data do pagamento, fazendo uso da fórmula do juro composto M = C0(1 + i)t. Assim, a primeira parcela a ser paga, um mês após a contratação do empréstimo, será de A segunda parcela será P2 = 150 × (1,05)2; a terceira parcela será P3 = 150 × (1,05)3 e seguindo esse raciocínio, chega-se à última parcela P10 = 150 × (1,05)10. O montante da dívida é a soma das parcelas M = P1 + P2 + ... + P10. Observamos que as parcelas constituem elementos de uma progressão geométrica de 10 termos, razão 1,05 e a1 = 150 × (1,05). Aplicando a fórmula para Sn, da soma de n termos de uma PG, calculamos o montante M da dívida:
Dividindo esse montante novamente por 10 , obtêm-se as dez prestações de R$ 198,10. Ao chegar nesse ponto, meu amigo sentiu-se plenamente satisfeito, e estava disposto a fechar negócio com o banco consultado na certeza de que não estaria sendo ludibriado. Pedi então que ele tivesse um pouco mais de paciência, a fim de que eu pudesse concluir minha explanação. Na verdade, os três métodos estão incorretos, pois cometem sempre o mesmo erro básico: não perceber que, se o dinheiro "está valendo 5% ao mês", não tem sentido somar quantias referentes a épocas diferentes sem levar em consideração esse valor variável (ver as advertências sobre "erros comuns em raciocínios financeiros" no livro Progressões e Matemática Financeira, de Morgado, A. C., Wagner, E. e Zani, S. C.). O raciocínio correto é o seguinte: desejamos que a dívida de R$ 1.500,00 seja paga em dez prestações iguais, cujo valor, no instante da contratação, vamos chamar de x. Assim, a primeira parcela, que vai ser paga um mês depois, tem que ser P1 = x /1,05. A segunda parcela será P2 = x /(1,05)2 . E assim por diante, até a última parcela, que será P10 = x /(1,05)10 . Somando essas dez parcelas, teremos o valor inicial do empréstimo contratado: Novamente, verificamos que as parcelas dessa soma são elementos de uma progressão geométrica de 10 termos, com razão igual a 1/1,05 e primeiro termo igual a x/1,05. Usando a fórmula da soma dos termos de uma PG, temos: Não haveria dificuldade maior em fazer o mesmo raciocínio literalmente, obtendo o valor da prestação igual a |
Uma calculadora fornece o valor aproximado x = R$ 194,26, valor de cada prestação . 
sendo C