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Antônio Luiz Pereira
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RPM - O leitor pergunta
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♦ É válido?

Um leitor de MS transcreveu o teste abaixo de um exame vestibular:

Calculando-se (–1/243)a onde a = –2/5, obtém-se:

a) –81 b) –9 c) 9 d) 81 e) um número não real

e escreveu que não encontrou nos livros didáticos o conceito de potência racional de um número negativo (ap/q, a < 0). Pergunta se é válido escrever

RPM

É válido, mas a questão poderia levantar dúvidas. A RPM examinou uns poucos livros didáticos e não encontrou neles as propriedades de potências quando a base é um número negativo. Além disso, são famosos os aparentes paradoxos como, por exemplo,

–1 = (–1)1 = (–1)2/2 = [(–1)2]1/2 = 11/2 = 1.

No conjunto C dos números complexos fica claro como lidar com expoentes racionais de números negativos. Lá, "extrair raízes" é uma operação que leva a mais de uma resposta e pode-se provar que, sendo m e n primos entre si, (zn)1/m = (z1/m)n, ou seja, as duas potências representam o mesmo conjunto de m valores (o que explica 57 o aparente paradoxo: em C, 11/2 representa o conjunto {-1, 1}, em R, 1). Contudo, no caso em que m é ímpar, não há nenhum problema em definir a raiz m-ésima de um número real qualquer da maneira usual ( é o único número real x tal que xm = a), e depois elevar a raiz m-ésima à potência n. Não há nem necessidade de passar por C.

♦ Significado e origem de palavras

Professores escrevem para esta seção, pedindo o significado de termos usados em Matemática. Algumas vezes as respostas já estão na RPM e o CD da revista (ou a memória) ajudam localizá-las. Perguntas recentes:

Qual é a origem da palavra "seno"? Ver RPM 8, p.13.
Qual é a origem da palavra "avos"? Ver RPM 47, p. 54.
Em notação decimal, quando se usa "ponto"? Ver RPM 21, p. 25.
Escreve-se 21.498 ou 21"espacinho"498 ou 21498, ou tanto faz?
Resp: usa-se ponto ou deixa-se um espaço vazio correspondente a um algarismo. Sem ponto e sem espaço não é recomendado por dificultar a leitura.

Um leitor viu num livro que "Henry Briggs (o dos logaritmos) foi professor saviliano da Universidade de Oxford" e pediu o significado de saviliano.

RPM: Em 1619, Sir Henry Saville, matemático inglês, fundou uma cadeira de Geometria e uma cadeira de Astronomia na universidade de Oxford. Saville exigiu que o professor da cadeira de Geometria ensinasse integralmente os Elementos de Euclides, as cônicas de Apolônio e as obras completas de Arquimedes. Henry Briggs foi um professor dessa cadeira de Geometria. Daí o nome "professor saviliano de Geometria".

Por que os números naturais que possuem apenas dois divisores naturais são chamados primos? Tem alguma comparação com o significado de parentesco?

RPM: primo vem do latim primus com o significado de primário, primeiro, primitivo.

♦ Futebol

Um professor de Brasília pediu a solução da questão:

Considere que a Copa do Mundo de futebol de 2010, que será realizada na África do Sul, siga o mesmo modelo da última Copa, com a participação de seleções de 32 países, sendo: 14 da Europa, 5 da África, identificados pelas primeiras oito letras do alfabeto, que cada grupo será composto pelo mesmo número de seleções e que, além disso, todas as seleções terão as mesmas chances de serem escolhidas nesse sorteio. Com referência a essa situação, e sabendo que o primeiro grupo formado é o A, depois o grupo B e assim sucessivamente, julgue o seguinte item (havia vários):

d) A probabilidade de uma seleção não ser sorteada para integrar o grupo A ser sorteada para integrar o grupo B é inferior a 1/20.

RPM

O enunciado é um pouco obscuro; talvez alguma palavra tenha sido omitida ou acrescentada por engano. Tal como está, a questão dá margem a duas possíveis interpretações:

1) A probabilidade de uma seleção não ser sorteada para integrar o grupo A e ser sorteada para integrar o grupo B é inferior a 1/20. (Observamos que a primeira condição é, a rigor, supérflua. O sorteio para o grupo B implica o não-sorteio para o A.)

Seja X a seleção.

Probabilidade de X não ser sorteada no grupo A: C31,4 /C32,4 = 7 /8.

Probabilidade de X ser sorteada no grupo B: C27,3 /C28,4 =1/ 7 , pois, ao formar o grupo B, existem 32 – 4 = 28 equipes disponíveis.

Contam-se os subconjuntos de 3 seleções escolhidas dentre 27 (X não, e as 4 do grupo A também não) e a cada um desses subconjuntos acrescenta-se a equipe X. O resultado final, por causa do "e" , será

2) A probabilidade de uma seleção não (___) sorteada para integrar o grupo A ser sorteada para integrar o grupo B é inferior a 1/20.

Com essa redação, sabe-se que a seleção X não foi sorteada para integrar o grupo A e se quer saber qual é a probabilidade de ela ser sorteada para o grupo B. Ao formar o grupo B, há 28 seleções disponíveis, incluindo X. A probabilidade de X ser sorteada é C27,3 /C28,4 =1/ 7 > 1/20 (ou, de modo equivalente, 1−C27,4 /C28,4 =1− 6/ 7 =1/ 7 ).