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Responsáveis Envie suas soluções para RPM − Problemas 276. Determine todas as funções f: R → R satisfazendo 2f(x) + f(1 − x) = x2008 para todo x ∈ R. 277. Qual é a maior potência de 2 que divide 32008 − 1? 278. Um hexágono eqüilátero de lado l está inscrito em uma semicircunferência de raio r com um de seus lados sobre um diâmetro, como mostra a figura. Sabendo que a área desse hexágono é
(Enviado por Amadeu Carneiro de Almeida, RJ.) 279. A soma dos ângulos das faces, exceto os de um vértice V, de um poliedro é 5160o. Encontre a soma dos ângulos de todas as faces desse poliedro.
O objetivo do jogo é, a partir da configuração inicial, realizar uma seqüência de movimentos de modo a deixar as 6 casas sombreadas sem peças. a) Atribua o "peso" 2−i−j para a casa na posição (i, j), como mostra a figura (a casa inicial, inferior esquerda, situa-se na posição (0,0)). Mostre que a soma dos pesos das casas ocupadas por peças, depois de se realizarem movimentos, é constante, isto é, não se altera após qualquer seqüência de movimentos.
b) Determine a soma de todos os pesos do tabuleiro. c) Mostre que é impossível realizar o objetivo do jogo: não existe nenhuma seqüência de movimentos que deixa as 6 casas iniciais, sombreadas, livres de peças!
O Jornal de Matemática Elementar de Lisboa, Portugal, tem publicado em seus últimos números desafios e concursos, com pontuação de participantes, no jogo intitulado Jogo dos Doublets. O jogo consiste em transformar (desprezando acentuação) uma palavra em outra com o mesmo número de letras, trocando apenas uma letra de cada vez. Exemplos De ALI para COM: ALI-ALA-AIA-AIS-AOS-CÓS-COM. Os probleminhas serão do Jogo dos Doublets. 1. De RIO para CÃO.
267. Numa folha quadrada de papel desenhe ou dobre um ângulo θ, marque a metade da folha e a metade da metade. Dobre a folha de modo que A caia em um ponto A' pertencente a r e B em um ponto B' pertencente a s (ver figura). Marque os pontos A', B' e C', o correspondente de C na dobra. Prove que AB', AA' e AC' trisseccionam o ângulo θ.
Solução Na figura a seguir, seja M o ponto de intersecção de XY e CA' . Como MC é perpendicular a AB , temos que MC' é perpendicular a AB' ' . Vamos mostrar primeiramente que A, M e C' são colineares, e que portanto AC' é perpendicular a AB'. Para isso, basta mostrar que m(A m(A' Agora, como MA = MA' e XA = XA', temos que Δ AMA' e Δ AXA' são isósceles e assim m(M Mas m(M
Os triângulos ΔAC'A' e ΔAZA' são congruentes pelo caso especial cateto-hipotenusa, pois A'C' = A'Z. Logo, β = γ e, portanto, α = β = γ, ou seja, o ângulo θ foi dividido em 3 partes iguais. (Solução adaptada das enviadas por diversos leitores.) 268. Seja f: N → N uma função tal que f(f(x)) = x para todo x ∈ N. a) Mostre que f é bijetora. b) Exiba uma função f com a propriedade acima e tal que f(x) ≠ x para todo x ∈ N. Solução Sendo f: N → N tal que f(f(x)) = x, ∀ x ∈ N, temos: a) f é injetora, pois, se f(x1) = f(x2), então f(f(x1)) = f(f(x2)), isto é, x1 = x2. Temos também f sobrejetora, pois, dado y ∈ N, seja x = f(y)∈ N e então f(x) = f(f(y)) = y. b) A função f: N → N dada por obedece à condição f(f(n)) = n, ∀ n∈N, no caso em que N = {0, 1, 2, 3, ..., n, ...}. E no caso que N = {1, 2, 3, ..., n, ...}, basta tomar f(n) = n − 1, se n é par e f(n) = n + 1, se n é ímpar. Observação Existem diversas outras soluções. Por exemplo, sejam A = { a1, a2, a3, ...} e B = {b1, b2, b3, ...} conjuntos de uma partição qualquer de N (isto é, A ∪ B = N e A ∩ B = 269. Seja f(x) = sen x + cos x + tg x + cotg x + sec x + cossec x. a) Mostre que b) Determine o valor mínimo de | f(x) | no maior domínio possível. Solução a)
Levando (1) e (3) em (2), temos, após alguns cálculos (que deixamos para os leitores),
Como É fácil notar que OB é a mínima distância de U(x) à origem. Obviamente: No problema, Como
Por outro lado, então Em resumo, | f(x) |mínimo = 2
Observação Pode-se utilizar também a desigualdade das médias para o item b): se x > 0, então (Solução de Paulo Roberto Furtado Dias, RJ.) 270. Dispõe-se de 2007 moedas "viciadas" M1, M2, ..., M2007. Sabese que, em um lançamento, a probabilidade de se obter cara na moeda Mi, Solução Sejam Mi, i = 1, 2, ..., n, cada uma das moedas,
Queremos achar PT2007. Para i = 1, temos que Para i = 2, temos que PT2 é a probabilidade de M1 ser cara e M2 ser coroa ou M1 ser coroa e M2 ser cara: PT2 = P1(1 − P2) + (1 − P1)P2. PT2.
Sendo Tese: Temos Portanto, (Solução de Francisco Blasi Jr., SP.) 1. RIO-TIO-TÃO-NÃO-CÃO. 2. SOL-SAL-SAI-SEI-SEM-SIM-RIM 3. LIMÃO-LIMAS-RIMAS-ROMÃS-SOMAS-SOMAM-SOMEM-HOMEM
Nota O leitor Levi Brasiliano da Silva, PE, enviou em tempo as soluções corretas dos problemas 263, 264, 265 e 266 e, por falha nossa, seu nome não apareceu na RPM 65. A ele nossas sinceras desculpas. |
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determine r. 
Respostas no final da página.
C) = m(A'
'C' é reto, temos 
Assim, os triângulos Δ AC'B' e Δ AC'A' são congruentes pelo caso de congruência LAL, já que B'C' = BC = AC = A'C' e o ângulo C' é reto. Logo, α = β, pois são ângulos correspondentes. 
). Basta então definir f(a
, sendo 
. Transformando em produto: 
(2). Temos também . 
, o que mostra a igualdade pedida, utilizando-se novamente (1). 
b) Inicialmente mostraremos que 
, sendo k uma constante real positiva, apresenta módulo mínimo quando 
. Por comodidade de notação, tomamos A = (a, c) e B = (b, b) no ramo de U(x) com x, y > 0. 
, U(x) é simétrica em relação à y = x. 
é mínimo quando 
, pois x e 
têm sempre os mesmos sinais. 
é mínimo quando 
ou g(x) = ±
. 
, é fácil ver que | f(x) | é mínimo para g(x) = −
ou 
. Segue que: 
. 
com k ∈ Z. 
. Assim, 
assume valor mínimo 
, o que ocorre quando 
. Da mesma forma, mostra-se que, se x < 0, então 
, de modo que 
em ambos os casos. 
. Se as 2007 moedas são lançadas simultaneamente, qual é a probabilidade de que o número de caras obtidas seja ímpar? 
, a probabilidade de se obter cara jogando a moeda M
, pois é a probabilidade de haver 1 cara no lançamento de M
e 
, parece que 
. Vamos tentar provar essa igualdade pelo princípio da indução finita. 
. 
. Porém, PT
.