Gostaria de compartilhar com os leitores da RPM o seguinte resultado:

Considere um triângulo ABC com lados medindo a, b e c e sejam m_a, m_b e m_c as medidas de suas medianas em relação aos lados a, b e c, respectivamente. Se S é a área do triângulo ABC, então S pode ser obtida pela fórmula:

É interessante observar a estética da fórmula. Realmente, a Matemática é criação divina (desculpem-me os ateus): a fórmula é um “Heron” para medianas. A demonstração para essa fórmula, apresentada a seguir, foi sugerida pelo Comitê Editorial da RPM, sendo mais elegante e resumida que a originalmente encaminhada por mim à revista.

Usando a fórmula de Heron para o cálculo da área de um triângulo, teremos provado nosso resultado se provarmos que a área, S_M, do triângulo cujos lados medem m_a , m_b e m_c, satisfaz a igualdade:

Na figura, D, E e F são os pontos médios dos lados BC, AC e AB. Traçamos a reta FE, que é paralela a BC, e completamos o paralelogramo BFHC. Observamos que BEHD e FAHC são paralelogramos e, portanto, DH = BE e HA = FC. Assim, ADH é o triângulo cujos lados medem m_a , m_b e m_c.

Denotando por (XYZ) a área do triângulo XYZ, temos:

(ADH) = S_M e, como D é ponto médio de BC e G é médio de EC, vem que os triângulos DGC e BEC são semelhantes de razão 2, logo,

Como G também é ponto médio de DH, temos:

como queríamos demonstrar.

Lendo na RPM 63 a matéria sobre aproximação no cálculo de mudança de unidades das temperaturas, achei interessante mostrar aos leitores a aproximação utilizada nas indústrias de petróleo para o cálculo de volumes nas tubulações cilíndricas. A mesma aproximação também é utilizada por perfuradores para calcular o volume de água em um poço.

Geralmente os diâmetros das tubulações cilíndricas são dados em polegadas e o comprimento em metros.

Dada uma tubulação cilíndrica de comprimento L metros (no caso de um poço, L metros seria a altura da coluna de água) e diâmetro d polegadas, a aproximação utilizada para o volume é: litros. Por exemplo, para uma tubulação de 12” (polegadas) de diâmetro e 50 m de comprimento, esse cálculo aproximado daria V = (12 ² /2).50 litros = 3 600 litros. Se o diâmetro é 10” e o comprimento 20 m, temos V = (10²/2).20 = 1000 litros. Como 1” = 2,54 cm = 0,0254m, a fórmula que fornece o volume real da tubulação é:

Ou seja, o V_real é apenas 1,34% maior que o V_aprox.. No caso do exemplo da tubulação de 12” de diâmetro com 50 m de comprimento, o volume real é igual a 3 648 litros (o aproximado que calculamos é 3 600 litros).

Comentário da RPM

O “método prático” apresentado neste texto realmente funciona, apresentando um erro bastante pequeno em relação ao valor correto. Todavia, chamamos a atenção dos leitores para o fato de que certos métodos usados por determinados setores da população não são necessariamente adequados, no sentido de que podem resultar em erros grandes. Um exemplo é um método usado por várias comunidades camponesas do Brasil (Scientific American/Brasil, n 11, p. 86) para cálculo de área de terrenos “quase” quadrados ou retangulares:

“fórmula” para área ou seja, calcula se o produto entre as médias das larguras e a média das alturas.

Essa “fórmula”, que já era conhecida e utilizada pelos egípcios (encontrada no Papiro de Ahmes que está no Museu Britânico), fornece a área exata para terrenos retangulares ou quadrados, mas, por exemplo, para um terreno na forma de um paralelogramo, teremos:

área pela “fórmula”

área real = ah = ab sen θ, que, dependendo do θ, pode ser consideravelmente menor do que a área dada pela “fórmula”.

É possível até mesmo que a ordem de grandeza das áreas seja invertida por esse método:

terreno A	terreno B
área real = 0,81a2 área “fórmula” = 0,81a2	área real = a2sen50o ≅ 0,76a2 área “fórmula” = a2

Então, pela “fórmula” temos área B > área A, sendo que, na realidade, a área B < área A.

O presente texto procura explorar uma situação similar à abordada pelo belo problema 256 proposto na RPM 61, com solução publicada na RPM 63.

Uma outra interpretação para o problema seria: imaginamos uma escada apoiada em uma parede e deslizamos o pé da escada em direção oposta à parede. Que curva plana descreve um ponto qualquer da escada? Uma resposta pode ser encontrada na resolução do problema 256, concebendo a parede e o chão como partes dos eixos de um sistema cartesiano ortogonal. Na solução, porções de elipses e circunferência ficaram muito bem caracterizadas.

Suponhamos agora uma escada CD com extremidades apoiadas no chão e em uma barra que faz um ângulo de, por exemplo, 60^o com o chão.

Analisemos a trajetória descrita pelo ponto médio M da escada durante o deslizamento de D na direção oposta à barra. Vamos supor o comprimento da escada CD igual a 2 m. Adotamos esses valores por simplicidade e estamos conscientes da possibilidade de generalização da situação considerada.

Com o auxílio do Cabri II, por meio da construção geométrica correspondente, fomos levados a conjecturar que o lugar geométrico do ponto M é parte de uma elipse, e mais, com eixo focal de mesma inclinação da bissetriz do ângulo entre o chão e a parede.

Como a equação da reta r é y = , uma determinada posição do ponto C tem coordenadas C = (x₀, ₀). Sendo a equação da, circunferência de centro C e raio 2 m, (x − x₀)² + ( y −₀)² = 4 obtemos

Assim, para essa posição da escada CD, seu ponto médio M terá coordenadas e Eliminando x₀, chegamos à equação (1)

Qualquer bom texto de Geometria Analítica, por exemplo, [1], mostra que essa equação representa uma elipse. Para isso, y faz-se uma rotação do sistema xOy de 30^o (metade da inclinação entre a barra e o chão) no sentido anti-horário em torno da origem.

Resumidamente:

x = Xcos30^o − Ysen30^o e y = Xsen30^o + Ycos30^o, o que implica

Substituindo (2) em (1), ficamos com que é a equação de uma elipse centrada em O e eixos como na figura:

Referência bibliográfica

[1] LIMA, Elon Lages. Geometria Analítica e Álgebra Linear. Coleção Matemática Universitária. IMPA, Rio de Janeiro, 2001.