Márcio Andrade Monteiro

As regras de divisibilidade são ensinadas desde a 4 série do ensino fundamental, porém, mesmo em séries mais avançadas, os livros didáticos e os professores não costumam justificar tais regras. Quando eu era estudante de educação básica, olhava aquelas regras curiosas e ficava pensando como foram descobertas. Já estudante de graduação em Matemática, consegui descobrir sozinho a lógica das regras de divisibilidade.

Quando trabalhei, uns anos atrás, em um curso preparatório, criei o Clube da Matemática. Esse clube era formado, em geral, por alunos de 8 série do ensino fundamental e 1 ano do ensino médio. Inseri nas atividades do Clube, não a demonstração formal das regras, mas uma boa explicação usando casos particulares que indicam o caminho para generalizações.

Outra experiência foi com meu filho este ano. Ele cursa a 6 série e resolvi mostrar a ele, de maneira simples, a justificativa para as regras de divisibilidade.

Os resultados foram excelentes com alto grau de assimilação. Mostrarei, então, como a atividade foi desenvolvida.

O primeiro passo é lembrar aos alunos que, devido ao sistema de numeração decimal, qualquer número inteiro pode ser escrito em termos de potências de 10. Assim, 2 345 = 2 x 10³ + 3 x 10² + 4 x 10 + 5 e um número qualquer de quatro algarismos será abcd = a x 10³ + b x 10² + c x 10 + d, a ≠ 0. É aconselhável apresentar casos com mais algarismos para fixar melhor a idéia.

É interessante começar com um caso mais simples. Eu comecei, nas duas experiências, com as regras de divisibilidade por 3 e por 9 e com números de quatro algarismos.

N = abcd = a x 10³ + b x 10² + c x 10 + d = 1000a + 100b + 10c + d = 999a + 99b+ 9c + (a + b + c + d) = 3(333a + 33b + 3c) + (a + b + c + d) = 9(111a + 11b + c) + (a + b + c + d).

Para os alunos do Clube da Matemática, que são mais adiantados, nem precisei falar mais nada, pois a dedução deles foi imediata. Para o meu filho, comecei com um exemplo numérico e depois fiz o caso geral.

Ficou fácil para os alunos sacar que, se tivermos 2 ou 1000 algarismos, o desenvolvimento é o mesmo. Se o grupo for mais avançado em Matemática, pode-se usar, no final, uma representação genérica do tipo

a_n a_n-1 ... a₁a₀ = a_n10ⁿ + a_n-1 10^n-1+ ... + a₁10 + a₀ =

a_n(10ⁿ −1) + a_n-1(10^n-1 − 1) + ... + a₁(10 − 1) + a_n + a_n-1+...+ a₁+ a₀),

mostrando que 10ⁿ − 1 = 99 ... 9 = 9 x 11 ... 1 é múltiplo de 3 e de 9.

Nesse momento, é possível encaixar outro resultado interessante e prático: os restos das divisões de abcd e de a + b + c + d por 9 (ou 3) são iguais. Vejamos o caso da divisão por 9:

a + b + c + d = 9q + r, sendo o resto r tal que 0 < r < 8. Assim, N = 9(111a + 11b + c) + (a + b + c + d) = 9(111a + 11b + c) + 9q + r = 9k + r.

Agora fica claro que os restos são os mesmos. Nesse caso, há necessidade de trabalhar um pouco mais com os alunos, mas a compreensão é tranqüila.

Apresente para os alunos a explicação das regras de divisibilidade por 2 e 4 e induza-os a ver que as regras para potências de 2 seguem o mesmo padrão. Com o meu filho, fomos fazendo juntos apenas as regras por 2 e 4. No Clube da Matemática, com alunos da 8 série em diante, houve sucesso na tarefa. Reproduzirei a seguir o raciocínio de um dos seus alunos.