Nota: neste número a seção Problemas propõe 5 (e não 4 como usualmente) problemas, alguns no nível do ensino fundamental.

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271. Na figura, AD = 2BD. Determine α.

(Proposto por Amadeu Carneiro de Almeida, RJ.)

272. Encontre as raízes reais da equação

273. Dispõe-se de n cartas de 2 unidades de comprimento cada, empilhadas na borda de uma mesa, como mostra a figura da página seguinte.

a) Mostre que o centro de gravidade da pilha de cartas está exatamente sobre o bordo da mesa e, portanto, o arranjo acima é estável.

b) Mostre que existe n para o qual a pilha se estende horizontalmente a pelo menos 2008 unidades de comprimento, a partir do bordo da mesa.

274. Prove que:

a) num triângulo retângulo a medida da mediana relativa à hipotenusa é igual à metade da medida da hipotenusa.

b) todo triângulo pode ser decomposto em n triângulos isósceles, para todo n > 4.

275. Dispomos de contas de a cores distintas e queremos montar colares com n contas cada um. Dois colares são indistinguíveis se um pode ser obtido a partir do outro através de uma rotação. Por exemplo, os dois colares da figura são indistinguíveis:

a) quantos colares distintos de n = 4 contas podemos montar se dispomos de contas de a = 7 cores?

b) se n é primo, mostre que podemos montar colares distintos com n contas (dispondo-se de contas de a cores).

(Certifique-se de que você utilizou o fato de que n é um número primo!)

c) conclua que, se n é primo e a é um inteiro qualquer, então aⁿ − a é um múltiplo de n.

1. Joãozinho escolheu um número natural de dois algarismos, multiplicou-o por 3 e elevou o resultado ao quadrado, obtendo um dos números: 72 468; 68 121; 65 936; 64 290 e 49 335. Qual deles?

2. Todos os dias, desde às 6 h da manhã até às 6 h da tarde, de 10 em 10 minutos, partem, pontualmente, um ônibus da cidade A para a cidade B, e outro da cidade B para a cidade A. Os ônibus viajam pela mesma estrada e a duração da viagem é de 1 h. O ônibus que sai da cidade A às 10 h acaba cruzando pelo meio do caminho com quantos ônibus vindo no sentido contrário?

3. Qual o valor de A?

(Tirados do livro Para gostar de Matemática, Chico Nery.)

Respostas no final desta página..

263. Determine, justificando, o conjunto das soluções reais da inequação cos(sen x) > sen(cos x).

Solução

Este problema pode ser resolvido de várias maneiras. Uma delas é analisar o comportamento da função

Como

substituindo-se em f(x) tem-se

Como os arcos do seno e do cosseno da expressão anterior estão sempre no primeiro quadrante, de modo que ambos os fatores em que f(x) foi decomposto são positivos. Logo, f(x) > 0, ou seja, cos(sen x) > sen(cos x) para todo x real.

(Solução enviada por Gilberto G. Garbi.)

264. Determinar os ângulos diedrais de um octaedro regular, isto é, os ângulos formados por duas faces adjacentes do octaedro.

Solução

Num octaedro regular todos os ângulos diedrais são iguais (ou congruentes); por isso, no octaedro ABCDEF da figura, basta determinarmos a medida do ângulo AHF, sendo H o ponto médio do segmento CD.

Se α é a medida do ângulo AHO, temos α ]0, π/2[ e, se l é a medida do lado do octaedro, temos:

Como cos2α = cos²α− sen²α = −1/3, vem que 2α = arccos(−1/3) ≈ 109^o.

(Solução enviada por vários leitores.)

265. Seja ∆ABC um triângulo tal que= 60^o. Seja H o seu ortocentro e J AC tal que AJ = 2JC e JC = JH. Mostre que ∆ABC é eqüilátero.

Solução

Seja x = JC, de modo que AC = 3x. No triângulo retângulo ∆ACC’, temos que a medida do ângulo C’AC é igual a 60^o e, portanto, a medida do ângulo ACC’ é igual a 30^o. Como JH = JC, temos o ângulo JHC igual a 30^o; logo, o ângulo HJB’ mede 60^o.

Portanto, implicando isto é, B’ é ponto médio de AC.

Logo, BB' é simultaneamente altura e mediana do ∆ABC, que é, portanto, isósceles com AB = BC. Portanto, = = 60° , o que mostra que ∆ABC é de fato eqüilátero.

(Solução adaptada de vários leitores.)

266. Seja p(x) o polinômio de grau 2007, com coeficientes reais,

Determine o resto da divisão de p(x) por x² + 1.

Solução

Como x² + 1 tem grau 2, temos que o resto da divisão de p(x) por x² + 1 tem a forma ax + b com a, b Temos, portanto,

p(x) = (x² + 1)q(x) + ax + b

Fazendo x = i e x = −i, obtemos

Pela fórmula de Moivre, temos

Substituindo nas expressões de a e b, temos a = 0 e b = 1, isto é, o resto da divisão é 1.

(Solução adaptada de diversos leitores.)

Observação

Conforme observaram alguns leitores, a solução acima pode ser adaptada para mostrar que o resto da divisão de (cos θ + x sen θ)ⁿ por x² + 1 é cos (nθ) + x sen (nθ).