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A pedido de alguns leitores, a RPM está publicando as soluções das 3 questões dissertativas (de conteúdo específico) do Concurso Público para Professor de Educação Básica II da Secretaria de Estado da Educação do Estado de São Paulo, realizado em março de 2007. Os enunciados estão reproduzidos exatamente como no caderno de questões do concurso.
Deseja-se comparar o consumo de energia de dois tipos de bombas de água, A e B, que serão utilizadas para retirar água de um reservatório cuja capacidade máxima é de 3000 litros. Sabe-se que a partir do instante em que o reservatório atinge a capacidade máxima, a bomba A é acionada retirando água a uma vazão de 50 litros/min, até que o reservatório fique com 2/3 da capacidade. A partir daí, a vazão diminui para 20 litros/min. A bomba B também é acionada quando o reservatório atinge a capacidade máxima, retirando água a uma vazão constante de 35 litros/min. Ambas as bombas se desligam automaticamente quando o volume de água do reservatório atinge 1000 litros. a) Esboce, num mesmo sistema de coordenadas, os gráficos do volume de água no reservatório em função do tempo, sob a ação de cada bomba. b) Se os consumos de energia das bombas A e B são constantes respectivamente iguais a 11 kWh e 15 kWh, qual é a mais vantajosa? Justifique sua resposta. Comentários RPM 1) Nossa solução supõe que as bombas A e B não são utilizadas simultaneamente no mesmo reservatório, embora isso não esteja explícito no enunciado. 2) No enunciado do item b) há uma imprecisão: Não fica claro se o termo “consumo de energia” deve ser interpretado como quantidade de energia em um certo período de tempo ou quantidade de energia por unidade de tempo (ou potência). No primeiro caso, seria necessário indicar o período de tempo correspondente ao consumo de 11 kWh e 15 kWh para cada uma das bombas. No segundo caso, a unidade de medida correta seria kW e não kWh. Como se afirma que esses “consumos de energia” são constantes, pareceu-nos mais apropriado supor, em nossa resolução, que os dados referem-se às potências de: 11 kW e 15 kW para as bombas A e B respectivamente (ou seja, a quantidade de energia consumida em 1 hora é de 11 kWh para a bomba A e 15 kWh para a bomba B). Solução a)
b) A bomba A funciona por 70 min = (7/6) h. Logo, o gasto final de energia será 11 kW × (7/6) h = (77/6) kWh. A bomba B funciona por (400/7) min = (20/21) h. Logo, o gasto final será de 15 kW × (20/21) h = (300/21) kWh = (100/7) kWh. Como 77/6 = 539/42 < 600/42 = 100/7, segue que a bomba A é mais vantajosa.
Um livro de matemática definiu paralelogramo como sendo um quadrilátero cujos lados opostos são paralelos. Um professor questiona seus alunos a darem outras possíveis definições de paralelogramo e obtém deles as seguintes respostas:
a) Demonstre que as quatro primeiras respostas são equivalentes à definição dada no livro. b) As afirmações (5) e (6) estão corretas? Justifique. Solução Mostraremos que as afirmações de 1 a 5 implicam a condição da definição do livro. Para provar as equivalências, devem-se considerar as recíprocas, que têm demonstrações análogas às apresentadas.
Os triângulos ADB e CDB são congruentes (caso LLL). Portanto, A
Como a soma dos ângulos internos de um quadrilátero é 360o, concluímos que α + β = 180o. De
Como A Daí, O
Como AB e CD são paralelos, então A 5) Sim
Justificativa: um contra-exemplo é o trapézio isósceles da figura que possui os lados AB e CD paralelos e os lados AD e BC congruentes.
Um dos recursos usados em computação gráfica para gerar movimentos na imagem da tela do computador está baseado no produto de matrizes. A posição de cada ponto é dada por suas coordenadas (x, y) em relação a um sistema cartesiano fixado. Sua nova posição é dada pelas coordenadas (u, v) obtidas por
onde A é uma matriz 2 x 2. Geometricamente, o ponto (u, v) é a imagem do ponto (x, y) por meio de um determinado movimento no plano (reflexão, rotação, homotetia, etc.), obtido a partir de A. Diremos que esse movimento é gerado pela matriz A. a) Descreva geometricamente os movimentos gerados pelas matrizes A1, A2 e A3 onde
b) A rotação do ângulo θ, em torno da origem, no sentido anti-horário, é o movimento gerado pela matriz
Comentário RPM Há um erro de impressão no item b) do enunciado: aparece na matriz o símbolo `e no lugar de θ e não aparecem os colchetes de limitação da matriz. Há também um erro de sinal na mesma matriz: falta o sinal de menos no elemento da primeira linha, segunda coluna. A nossa solução considera o enunciado com essas correções. Solução
Imagem da figura por R90° A3 Reflexão em relação à reta bissetriz dos 2
Imagem da figura por R90° A3 Reflexão em relação à reta bissetriz do 1
continuando... Stress Mais fácil seria
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1) Hipótese: AB = CD e AD = CB. 
D = C
B , que leva a AB // CD e A
2) Hipótese: 
= 
= α, 
3) Hipótese: OA = OC, OD = OB.
B =C
4) Hipótese: AB // CD, AB = CD. 
Justificativa: suponha que os ângulos A e C sejam congruentes e que os lados AB e CD sejam paralelos. Do paralelismo de AB e CD,
6) Não.
Considerando θ = 90o e a matriz A3 do
item a), calcule os produtos A3 Rθ e Rθ A3. Desenhe a imagem da figura pelos
movimentos gerados, respectivamente,
pelas matrizes A e A3. Descreva geometricamente esses movimentos. 
e 3
