Rogério Cesar dos Santos
UEG/IESGO-GO

No jogo Senha o desafiante seleciona, dentre 6 peças, um conjunto de 4 peças coloridas, chamado senha, com cores distintas duas a duas, e as coloca ordenadamente atrás de uma trave, para que o desafiado não as veja.

O desafiado coloca então no tabuleiro um conjunto de 4 peças coloridas, chamado chute, com cores distintas duas a duas, dentre as mesmas 6 cores, na tentativa de acertar as cores e as posições na senha.

A cada chute do desafiado, o desafiante “responde” colocando, ao lado, b pinos brancos e p pretos, segundo um código previamente combinado:

b pinos brancos: posições erradas; cores estão certas, mas nas posições erradas

p pinos pretos: p estão certas nas posições certas.

Exemplo

As cores serão denotadas por A, B, C, D, E e F. O desafiante escolhe como senha as cores ABDF, nesta ordem. Se o desafiado chuta as cores BECF, nesta ordem, o desafiante vai responder com b = 1 pino branco correspondente à cor B (cor certa na posição errada) e p = 1 pino preto correspondente à cor F (na posição certa). Com essa informação o desafiado saberá que, na senha escolhida pelo desafiante, uma das cores (sem saber qual) está certa e na posição certa, uma outra (sem saber qual) está certa mas na posição errada e duas cores (também sem saber quais) não fazem parte da senha.

Veja que não é possível um chute que resulte em 3 pinos pretos e 1 branco. Além disso, pelo menos dois pinos sempre serão colocados, pois todo chute terá no mínimo duas cores coincidentes com as colocadas pelo desafiante. A seguir todas as 11 possíveis respostas do desafiante:

Um dos nossos objetivos é explorar a análise combinatória que está por trás do jogo. Outro é verificar, no final, que nossa intuição pode falhar ao compararmos os resultados de dois chutes: nem sempre o que apresenta mais pinos é o que traz mais informação sobre a senha.

1. Quantas senhas o desafiante poderá fazer?

Como existem 6 cores e cada agrupamento consta de 4 cores ordenadas, sem repetição, então existem A_6,4= 360 senhas possíveis.

2. Considerando que o chute seja ABCD, nesta ordem, calcule quantas possíveis senhas do desafiante são compatíveis com cada uma das 11 respostas da tabela anterior (faremos o cálculo para algumas e as demais ficarão a cargo do leitor).

a) b = 0, p = 4 Obviamente existirá apenas uma senha compatível com 4 pinos pretos, o próprio chute ABCD.

b) b = 0, p = 3

[C_4,3 (três dentre as quatro cores do chute, A, B, C e D, devem estar em suas respectivas posições) × 2 (correspondente às duas possibilidades para a cor errada: E ou F)] = 8 senhas, confira:

ABCE, ABED, AECD, EBCD, ABCF, ABFD, AFCD e FBCD.

c) b = 0, p = 2

[C_4,2 (duas dentre as quatro cores do chute, A, B, C e D, devem estar certas nas posições certas) × P₂ (correspondente às duas possíveis ordenações das cores erradas: EF ou FE)] = 12 senha, confira:

ABEF, AECF, AEFD, EBCF, EBFD, EFCD

ABFE, AFCE, AFED, FBCE, FBED, FECD

d) b = 1, p = 2

A senha poderia ser, por exemplo, ABEC (a D seria a cor errada), ou ABDE (a C seria a errada), ou EACD (a B seria a errada), ou com BECD (a A seria a errada). Pode-se variar cada uma das seqüências acima de mais duas formas, mantendo duas dentre as três cores certas em posições coincidentes com o chute, por exemplo: ABEC pode variar para EBCA e AECB. Como F também pode ser usada, o número de senhas nesse caso será, portanto, [C_4,1 (uma dentre as quatro cores do chute, A, B, C ou D, está errada) C_3,2 (duas das três cores certas estão nas posições certas) × 2 (uma das duas cores erradas faria parte da senha: E ou F)] = 24 senhas.

e) b = 1, p = 1

C_4,2 (duas dentre as quatro cores do chute, A, B, C e D devem estar certas) × 2 (uma dentre as duas cores certas está na posição certa) × 2 (há duas posições para a outra cor certa que está na posição errada) × P₂ (correspondente às possíveis ordenações das cores erradas: EF ou FE) = 48 senhas.

f) b = 2, p = 2 C_4,2 (duas cores estão certas nas posições certas) × 1 (só há uma forma de posicionar as duas cores que estão certas mas nas posições erradas) = 6 senhas, confira:

ABDC, ACBD, ADCB, BACD, CBAD, DBCA

Pulemos para a última hipótese. As demais ficam a cargo do leitor.

g) b = 4, p = 0

Sejam os conjuntos a seguir: X₀ formado por todas as seqüências com as cores ABCD, X₁ formado por todas as seqüências das cores ABCD em que A está na posição certa, X₂ pelas seqüências nas quais B está na posição certa, X₃ pelas seqüências nas quais C está na posição certa e X₄ pelas seqüências nas quais D está na posição certa. A quantidade de senhas para esse caso é (n(X_i) é a quantidade de elementos de X_i):

Logo, são 9 senhas, confira:

BADC, BCDA, BDAC, CADB, CDAB, CDBA, DABC, DCBA, DCAB.

O leitor está desafiado a fazer o mesmo para as demais colunas da tabela. Seguem abaixo todas as respostas, isto é, o número de senhas que o desafiante pode ter feito que resultam em b brancos e p pretos, em relação ao chute ABCD:

Observações

Pode parecer, à primeira vista, que quanto mais pinos colocados, mais informação se tem sobre a senha (ou seja, menor é o número de senhas compatíveis com o resultado do chute). Mas não é isso o que ocorre. Observando a tabela acima, verificamos, por exemplo, que a resposta p = 2, b = 0 corresponde a um número menor de senhas possíveis do que p = 2, b = 1. No primeiro caso, o desafiado terá apenas 11 possibilidades restantes para a próxima tentativa, ao contrário das 23 no segundo caso. Também é curioso observar que o número de senhas restantes é menor quando a resposta b = 2, p = 0 do que quando b = 3, p = 0. No primeiro caso, o desafiado terá 83 chutes possíveis para a próxima rodada, contra 87 no segundo caso. Essas curiosidades se explicam porque o número de pinos não colocados também dá informação: a de quantas cores não fazem parte da senha. Por último, surpreende também considerar que b = 2, p = 2 corresponde a menos senhas do que b = 0, p = 3: nossa intuição poderia nos levar a pensar que reduzimos mais o número de senhas possíveis acertando três das cores em suas posições do que acertando quatro, com apenas duas nas posições certas.