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Augusto Macêdo
É bastante conhecida a fórmula de Heron para determinar a área de um triângulo ∆ quando são conhecidas as medidas dos seus lados, a, b e c:
sendo p = (a + b + c)/2 o semiperímetro. Entretanto, é pouco conhecida e divulgada no ensino médio a generalização dessa fórmula para um quadrilátero inscritível ABCD (fórmula de Brahmagupta) cujos lados medem a, b, c e d, que é dada pela expressão
sendo p = (a + b + c + d)/2 o semiperímetro. Ainda menos conhecida e divulgada é a generalização dessa fórmula para um quadrilátero qualquer (inscritível ou não) cujos lados medem a, b, c e d e sendo também conhecido θ, a média aritmética das medidas de dois ângulos opostos do quadrilátero: área (ABCD) =
Esse pequeno artigo foi escrito pelo meu amigo prof. Augusto Macêdo há 10 anos e só agora resolvi ressuscitá-lo e divulgá-lo para todos os amantes da geometria!
Consideremos um quadrilátero inscritível ABCD como na figura.
Por outro lado, denotando (ACB) e (ACD), as áreas dos triângulos ABC e ACD respectivamente, e por (ABCD) a área do quadrilátero ABCD, temos
que implica
Aplicando a lei dos cossenos nos triângulos ABC e ACD, obtemos
De cos β = −cos α, segue a + b - 2ab cosα = c2 + d2 + 2cd cosα e
II) Cálculo da área
cos(α + β) = cos(2θ) = 2cos2θ − 1. De modo análogo ao caso anterior,
2(ABCD) = ab senα + cd senβ⇒ [2 ABCD)] 2 = (ab senα + cd senβ)2 ⇒ 4(ABCD)2 = a2b2 sen2 α + 2abcd senα senβ + c2d2 sen2 β.(*) Aplicando a lei dos cossenos nos triângulos ABC e ACD, obtemos 2abcosα−2cd cosβ=a +b −c −d
II) Cálculo da área Adicionando as igualdades (*) e (**), obtemos
Por cálculos já feitos no caso anterior, vem
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I) Temos α + β = 180o, visto que o quadrilátero é inscritível. Assim, segue que sen α = sen β e cos β = −cos α.
I) No quadrilátero qualquer ABCD conforme ilustra a figura, se 
