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O colega Antonio Ricardo de Melo Santos, de Belo Horizonte, MG, responde à pergunta: “Em quantos zeros termina o fatorial de 1000?” utilizando dois processos e questiona qual deles é o melhor. Na primeira solução, ele observa que esse número é o mesmo que o número de fatores 5 entre 1 e 1000. Calcula, então, quantos múltiplos de 5 há nesse intervalo (são 200), quantos múltiplos de 25 = 52 ( são 40), quantos múltiplos de 125 = 53 (são 8) e observa que, entre 1 e 1000, há ainda 625 = 54, o que dá um total de 249 fatores 5. Conclui que há exatamente 249 zeros no final do fatorial de 1000. O colega calculou também o 1000!, obtendo um número com 2568 dígitos (a menos que haja erro nosso na contagem) terminado em ... 249 zeros. O colega não informou qual o programa que utilizou para esse cálculo, mas enviou o resultado impresso, com 38 linhas de algarismos...
Escreve-nos, por e-mail, o colega Aldo Correia Saldanha, dando outra prova por argumentos geométricos da solução do problema 255 (RPM 62, p. 49-50) para o caso em que o ponto X está fora da semicircunferência que passa por A, P e B. Ele verifica a congruência dos ângulos alternos internos QXB e ABX e dos ângulos QXB e AXB por serem ângulos correspondentes nos triângulos retângulos congruentes BQX e BPX. Daí, conclui que o triângulo ABX é isósceles com base BX, donde tem os lados AX e AB congruentes, o que mostra que o ponto X pertence à parte da circunferência de centro A e raio AB que está no quadrado de partida. Uma das responsáveis pela seção Problemas, a professora Élvia, entretanto, chamou-nos a atenção para o fato de que essas soluções deixam escapar um arco de parábola da solução ou o segmento AB sem a extremidade A, que foram encontrados pela solução analítica. Ela explicou que a seção recebeu várias dessas soluções e optou pela solução por Geometria Analítica por ter sido a mais completa. RPM Com efeito, ao incluir o segmento AB, sem o ponto A, no lugar geométrico, os missivistas consideraram o ponto B pertencente à intersecção da reta AX com a semicircunferência. Analogamente, considerando o ponto A na intersecção da reta AX com a semicircunferência, a condição do problema equivale a igualar a distância de X ao ponto A à distância de X à reta BC, ou seja, podem-se ainda considerar os pontos X que estão na parábola de foco A e diretriz BC. Além do quarto da circunferência de centro A e raio AB, o lugar geométrico procurado contém também o lado AB do quadrado, sem o ponto A, e o arco intersecção do quadrado com a parábola, de foco A e diretriz BC. E a essa conclusão pode-se chegar também só por argumentos geométricos.
Nota da RPM No artigo πre conosco publicado na RPM 63, p. 19, o autor Carlos A. Gomes refere-se ao símbolo que ilustra o artigo como sendo da SBM. Na verdade, o símbolo foi criado e é utilizado pela OBM − Olimpíada Brasileira de Matemática.
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