(Olimpíada de Matemática 1984.)

2. Em uma gaveta estão colocados 10 pares de luvas brancas e 10 pares de luvas pretas, totalmente misturadas. É impossível perceber pelo tato se uma luva é da mão esquerda ou da mão direita. Qual é o número mínimo de luvas que uma pessoa, de olhos vendados, deve retirar dessa gaveta para ter certeza que tirou um par de luvas da mesma cor? E para ter certeza que tirou um par de luvas brancas?

(Retirado do livro Para gostar de Matemática, de Chico Nery.)

3. Intercalando sinais de adição entre dois números quaisquer da seqüência 1 2 3 4 5 6 7 8 9 e efetuando o cálculo indicado, obtemos um determinado resultado, por exemplo, 1 + 2 + 3 + 4 + 56 + 78 + 9 = 153. De quantas maneiras diferentes podemos intercalar sinais de adição na seqüência de modo a obter a soma 99?

(Enviado pelo prof. Chico Nery.).

Respostas no final desta seção..

Soluções dos problemas propostos na RPM 62

259. Seja P(x) = x¹⁰+ a₁x⁹+ a₂x⁸ + ... + a₉x + 1, com a_i > 0, i = 1, ..., 9. Prove que, se as raízes de P são reais, então P(2) > 3¹⁰.

Solução

As raízes de P(x) = x¹⁰ + a₉x⁹ + a₈x⁸ + ... + a₁x + 1 são obrigatoriamente negativas, pois os coeficientes a_i não são negativos.

Sejam −α₁, −α₂₁, …, −α₁₀ essas raízes, α_i> 0, i = 1, 2, ..., 10.

Podemos, então, escrever

P(x) = (x + α₁)(x + α₂)...(x + α₁₀) e

P(2) = (2 + α₁)(2 + α₂)...(2 + α₁₀) = (1+1+ α₁)(1+1+ α₂₁)...(1+1+ α₁₀).

Lembrando que a média aritmética de 3 números não negativos é sempre maior ou igual à sua média geométrica, temos

Das relações de Girard, o produto das raízes vale 1 e, portanto, segue que:

(2 + α₁)(2 + α₂)…(2 + α₁₀) > 3¹⁰.

(Solução enviada por José Lázaro Porto, RJ.)

260. Dado um segmento AB, achar, justificando, o lugar geométrico dos pontos X que são vértices de triângulos ABX tais que a medida do ângulo interno no vértice A é o dobro da medida do ângulo interno no vértice B.

Solução

Considere um sistema ortogonal em que A = (0, 0) e B = (a, 0), a > 0, como na figura da página seguinte.

Seja X = (x, y), y > 0, um ponto que obedece à condição do problema. Então, necessariamente, temos 0 < α < 60º e x < a.

Para 0 ≠ x < a, temos e, como tem-se (1) e multiplicando em cruz, simplificando,completando quadrados e efetuando divisões adequadas (tente!) chegamos

Assim, mostramos que se X = (x, y), com y > 0 e x ≠ 0, obedece à condição do problema, então, X pertence ao ramo esquerdo superior da hipérbole dada por (2) que tem focos A = (0, 0) e

Reciprocamente, se X = (x, y), com y > 0 e x ≠ 0, pertence ao ramo esquerdo superior da hipérbole, então, X obedece a (1) e, chamando m(∠ ABX) = β, temos logo

Assim, X obedece à condição.

Para y > 0 e x = 0, X = (0, y) obedece à condição se e só se α = 45º, isto é, se e só se X = (0, a).

Por simetria em relação à reta AB podemos concluir que o L.G. é o ramo esquerdo da hipérbole (2) sem o vértice

E se permitíssemos y = 0, isto é, ∆ABC triângulos degenerados, qual seria o L.G.?

(Solução adaptada das enviadas por vários leitores.)

261. Dados (n + 1) números inteiros positivos, nenhum deles maior que 2n, n > 2, mostre que

a) existem dois deles tais que um é múltiplo do outro;

b) existem dois deles que são primos entre si.

Solução

a) Seja A = {1, 2, ..., 2n}, n natural, n > 2. Todo número inteiro positivo pode ser escrito na forma n = 2^p.q, p, q naturais com q ímpar e p um inteiro não negativo. Como existem n inteiros ímpares em A, escolhendo n + 1 números desse conjunto, pelo princípio da casa dos pombos (ou princípio de Dirichlet) haverá p₁, p₂, q₁, q₂ N com q₁= q₂ ímpares e p₁, p₂ inteiros não negativos.

i) se p₁ < p₂, então n divide n₂, pois

ii) se p₁ > p₂, então n divide n₁, pois

b) Se retirarmos n + 1 números de A = {1, 2, ..., 2n}, pelo princípio da casa dos pombos, dois deles têm de ser consecutivos e portanto primos entre si.

(Adaptada da solução enviada por Robério Landim de Carvalho.)

Observação: há soluções semelhantes de a) na RPM 8, p.22, e de b) na RPM 4, p.39.

262. Uma matriz quadrada 3 × 3 é formada por números inteiros, sendo dois deles pares e os demais ímpares, distribuídos de forma eqüiprovável. Calcule a probabilidade de o determinante dessa matriz ser um número ímpar. Resolva o mesmo problema para uma matriz 4 × 4, com dois termos pares e catorze ímpares.

Solução

Em ambos os casos, basta resolver o problema com matrizes formadas por elementos iguais a 0 e 1, pois, por exemplo, a matriz

terá determinante ímpar se e só se a matriz formada por 0’s e 1’s tiver determinante ímpar.

Portanto, podemos supor que as matrizes em questão têm dois elementos iguais a 0 e os demais iguais a 1.

a) Se dois 0’s estão na mesma linha ou coluna, haverá duas linhas ou colunas iguais formadas por 1’s e, portanto, determinante igual a 0. Caso contrário, se os dois elementos iguais a 0 não pertencem à mesma linha ou à mesma coluna, então após permutação das linhas e colunas (que multiplica o determinante por ±1 e, portanto, não altera a paridade do resultado) podemos supor que a matriz é

cujo determinante é 1

Como há maneiras de escolher as posições dos dois 0’s e, dessas, maneiras são tais que os dois 0’s estão alinhados, concluímos que a probabilidade de o determinante ser ímpar é 1/2.

b) Neste caso, sempre haverá duas linhas ou colunas iguais formadas por 1’s, logo o determinante será sempre 0. Assim, a probabilidade pedida é 0.

Notas

1. Em relação ao problema 255 da RPM 60: o problema foi resolvido na RPM 62, interpretando XA como a reta que contém os pontos X e A; na segunda figura da solução, o vértice esquerdo abaixo do quadrado deveria ter sido chamado de P = (0, 0) para ficar de acordo com o item 2.

2. Os três ...probleminhas desta seção da RPM 63 foram retirados do livro Para gostar de Matemática de autoria de Chico Nery.

3. Na RPM 62 deixamos de publicar na relação de acertadores o nome do assinante Cláudio Gumieri, que mandou soluções corretas de todos os 6 problemas da RPM 60. Na RPM 63 deixamos de registrar que o leitor Diobel Gomes Travessa, SP, enviou a solução correta do problema 257. A ambos nossas sinceras desculpas.

4. O leitor Sebastião Paulo Tonolli nos enviou a correção do seu nome publicado na lista de acertadores desta seção da RPM 63: publicamos TonElli e não TonOlli que é o correto. A ele nossas sincerras desculpas.

Respostas dos ... probleminhas 1. 6 2. 21 e 31 3. 3