Os professores de Matemática do ensino fundamental costumam comentar que os alunos têm dificuldade para compreender os conceitos e efetuar operações envolvendo frações, o que motivou a escolha da Questão 5 da prova nível 1, da segunda fase da OBMEP de 2006, para compor esta seção. O Prof. Élio Mega, que faz parte da equipe da OBMEP, escreveu o texto a seguir sobre a Questão 5, enunciada abaixo.

-(5) Diadorim, Mimita e Riobaldo dividiram todo o conteúdo de uma garrafa de suco em três copos iguais, enchendo metade do copo de Diadorim, um terço do copo de Mimita e um quarto do copo de Riobaldo.

(a) Como cada um queria um copo cheio de suco, eles abriram outras garrafas iguais à primeira até encher completamente os copos. Quantas garrafas a mais eles tiveram que abrir?

(b) Se o suco de uma garrafa tivesse sido dividido igualmente entre eles, que fração de cada copo conteria suco?

A proposta da questão era avaliar o aprendizado de noções, conceitos ou significados relacionados com o estudo de frações. Na resolução da parte (a) esperava-se que o estudante demonstrasse conhecimento de alguns dos itens a seguir:

  • fração como a divisão da unidade em partes iguais

  • fração “imprópria” como inteiros ou inteiros mais partes da unidade

  • operações elementares com frações

  • relacionamento de grandezas (capacidades da garrafa e do copo)

  • estimativas e aproximações (para usar 2 e alguma coisa, é preciso ter 3 garrafas)

  • fração como quociente de inteiros, dependendo da abordagem do problema (por exemplo, se o aluno assumisse que cada copo tem 120 ml e fizesse os cálculos com base nesse valor – obviamente não se esperava que ele justificasse que a solução não dependia dessa escolha). O inconveniente dessa escolha se revela na parte (b).
 

     Soluções apresentadas pela banca de correção

(a) 1 solução: como os três copos são iguais, o conteúdo de uma garrafa equivale

a - de um copo.

Temos ainda: 1 garrafa = 1 copo + - de um copo,

2 garrafas = 2 copos + - de um copo = 2 copos + -copo,

3 garrafas = 3 copos + - de um copo = 3 copos + - copo. Logo, para encher os 3 copos são necessárias no mínimo 3 garrafas, sobrando (1/4) de copo na terceira garrafa. Portanto, os amigos terão que abrir 2 garrafas a mais.

2 solução: depois de concluir que o conteúdo de uma garrafa é igual a (13/12) de um copo, percebemos que falta encher (1/2) do primeiro copo + (2/3) do segundo copo + (3/4) do terceiro copo, ou seja, falta encher - de um copo. Como cada garrafa corresponde a (13/12) de um copo, falta abrir -garrafas, logo, mais duas garrafas.

3 solução: As figuras representam os copos dos três amigos, divididos com marcas de (1/12). O próprio desenho mostra que três garrafas são suficientes para encher os copos, sobrando (1/4) de copo dentro da teceira garrafa para quem ainda estiver com sede.

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(b) Vimos no item (a) que uma garrafa enche 13/12 de um copo. Logo, ao dividir o conteúdo de uma garrafa por três copos iguais, cada um dos amigos terá -do seu copo cheio de suco.

A primeira solução da banca, com base na proporcionalidade das capacidades da garrafa e do copo, parecia natural e, de fato, apareceu bastante nas provas corrigidas, nem sempre de forma explícita ou organizada. Os corretores, em vários casos, completaram as lacunas da exposição dos estudantes quando verificaram a correção do raciocínio utilizado.

A segunda solução da banca baseada na idéia do preenchimento progressivo dos copos à medida que se abriam garrafas também apareceu nas respostas dos estudantes, muitas vezes de forma implícita, exigindo um trabalho adicional de interpretação por parte dos corretores das provas.

A terceira solução apresentada pela banca consiste, na verdade, na mudança de registro da segunda solução, pois se apresenta na forma de desenhos. Essa solução apareceu com bastante freqüência, com desenhos de retângulos e suas partes ou com desenhos de garrafas e copos e suas partes. Entretanto, várias soluções corretas estavam obscurecidas por desenhos desproporcionais ou por legendas e associações (flechas, números, etc.) difíceis de compreender pelos corretores.

Houve casos de estudantes que misturaram as estratégias ou utilizaram outros raciocínios e também soluções com base na atribuição de um valor para o volume da garrafa. Alguns estudantes perceberam que o número 120 era bastante conveniente, o que demonstra uma boa noção de divisibilidade e frações.

Na parte (b) esperava-se essencialmente que o aluno demonstrasse seu conhecimento da divisão de uma fração por um inteiro e, obviamente, a compreensão da situação que demandava o uso dessa ferramenta. Para os estudantes que tivessem atribuído um valor para a capacidade do copo, a operação era mais complexa (pois se cada copo tivesse 120 ml, por exemplo, então cada garrafa teria 130 ml e seria necessário, no final, dividir 130 por 3 e o resultado por 120 para se chegar à fração de cada copo – não vimos nenhuma solução correta neste caso).

A impressão da banca que fez a correção final foi a de que esta questão foi uma das mais difíceis de corrigir no nível 1, dada a grande diversidade de estratégias e linguagens apresentadas pelos estudantes. O aspecto positivo foi o de verificar que muitos alunos das escolas públicas têm um domínio bastante satisfatório do assunto explorado no problema.