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Augusto Manuel de Albuquerque Barros
Facilmente observamos que o segundo número do título, 410 256, é o quádruplo do primeiro, 102 564. O que nos chama a atenção é que os algarismos desses números são os mesmos, tendo sido o bastante trasladarmos o algarismo 4 das unidades do primeiro número para a esquerda, a fim de obtermos o segundo número. Admitamos agora a questão sendo apresentada sob o seguinte aspecto: determinar um número inteiro positivo N, formado de n algarismos e terminando pelo algarismo 4, tal que ao trasladarmos esse 4 (algarismo das unidades) para a primeira posição, obtemos outro número que é o quádruplo desse número N. Resolução Seja N = a1a2a3...an-1 4 um número de n algarismos, n natural não nulo. Retirando o algarismo 4 desse número, obtemos: Colocando o algarismo 4 à esquerda do primeiro algarismo de N, obtemos
Para que N′′ = 4N precisamos ter . Para N ser inteiro, devemos ter 39 como divisor de 10n−1. O menor valor de n que satisfaz essa condição é n = 6:
Podemos mostrar que, fazendo n = 6k, k = 1, 2, 3, ..., k ∈ N*, obtemos todos os números N terminados em 4 e que satisfazem a condição procurada; logo, Exemplos Para k = 2, obtemos Para k = 3, obtemos Podemos propor problemas semelhantes ao anterior, como, por exemplo, obter um número inteiro positivo N, formado por n algarismos e terminando com o algarismo a, tal que ao trasladarmos esse a (algarismo das unidades) para a primeira posição, temos como resultado outro número que é igual a aN. Procure obter N fazendo a = 1, 2, 3, ..., 9, verificando os resultados curiosos que serão obtidos, podendo, em alguns casos, não haver solução. |
[No exemplo: 10256 = (102 564 − 4)/10.]
donde N = 4 
donde N = 4