Carlos A. Gomes
Natal - RN

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O símbolo ao lado foi impresso nas camisas da SBM que foram usadas e vendidas durande o último Colóquio Brasileiro de Matemática no IMPA. Ocorreu-me que, talvez, nem todos saibam como verificar a igualdade:

2 -

Este pequeno artigo é uma tentativa de esclarecer e divulgar essa bela fórmula que foi deduzida pela primeira vez em 1593 por François Viète usando as medidas das áreas de polígonos inscritos numa circunferência.

A demonstração da igualdade que mostro a seguir pode ser encontrada em textos para o ensino superior e foi feita no século XVIII pelo fantástico matemático suíço Leonard Euler, um homem que aprendia e produzia Matemática com a facilidade com que os homens normais como nós respiramos... Veja que beleza!!!

Sabemos que sen(2θ) = 2 senθ cosθ, o que implica

- Mas podemos aplicar novamente a identidade

- obtendo

-Substituindo esse resultado na expressão

-obtemos

-

Agora, substituímos na expressão anterior o

-obtendo

-Repetindo esse processo n vezes, obtemos:

-

e, dividindo ambos os membros por x ( x ≠ 0, é claro!), obteremos:

-

que pode ser reescrita como:

-

Fazendo o n tender a infinito, temos que - e portanto- Assim temos que, quando n tende ao infinito,

-

Substituindo x por-obtemos:

-

Como - lembrando que

- temos que:

-

Logo, de -segue que

-

Que lindo, hein?