José Luiz Pastore Mello
São Paulo − SP

Introdução

A relação entre a temperatura na escala termométrica Fahrenheit (T_F) e a temperatura na escala Celsius (T_C) é a dada pela função afim Essa função pode ser facilmente deduzida a partir dos pares ordenados (T_F , T_C) que correspondem às temperaturas de fusão do gelo e de ebulição da água à pressão normal. Esses pares são, respectivamente, (32, 0) e (212, 100).*

Como a escala Fahrenheit é de uso corrente nos EUA e é comum nas especificações e características de equipamentos, a fórmula de conversão Fahrenheit-Celsius é utilizada com alguma freqüência.

Se por um lado a fórmula garante uma conversão precisa entre as escalas, por outro ela não é prática para cálculos mentais, o que acaba dificultando a vida de quem viaja para países que utilizam a escala Fahrenheit. Até que o viajante perceba que a melhor estratégia para incorporar o padrão Fahrenheit é simplesmente abandonar sua memória recente da escala Celsius, muitas e muitas contas de conversão acabam sendo feitas.

A proposta deste artigo é analisar três fórmulas de conversão entre T_F e T_C que, ao favorecerem o cálculo mental, dispensam o recurso de uma conta armada. É claro que esse benefício será conquistado ao custo de assumirmos pequenos erros em relação à conversão correta. Avaliaremos esses erros com auxílio do estudo da função modular.

Primeira fórmula:

Essa fórmula favorece o cálculo mental porque exige apenas subtrair 30 de T_F e, em seguida, pegar a metade do resultado. Por exemplo, para T_F = 77, concluímos rapidamente que = 23,5 Nesse caso, como o cálculo correto seria T_C = 25, cometemos um erro de −1,5 ^oC. Se T_F = 35,6, temos = 23,8 e T_C = 2, o que indica um erro de +0,8 ^oC.

Uma vez que erros de superestimativa ou de subestimativa da temperatura são desvios em relação ao zero, é mais adequado que olhemos para o erro absoluto | T_C - |. Comparando o erro absoluto nos exemplos anteriores, percebemos que a fórmula comete um erro menor para a temperatura 35,6^oF do que para 77^oF. O comportamento do erro absoluto, que chamaremos de E^* , em função de T_F , é expresso por:

cujo gráfico está indicado na figura. Para a temperatura de 50^oF, que é equivalente a 10^oC, não se comete erro algum ao usar no lugar de T_C e, para temperaturas próximas a esse valor, o erro cometido é pequeno.

Segunda fórmula:

Essa fórmula também favorece o cálculo mental porque trabalha com a divisão por 2, em vez de por 1,8, que seria o correto na fórmula T_C. O erro E^** cometido por essa nova fórmula é dado por:

A figura a seguir indica os gráficos de E^* e E^** em um mesmo plano cartesiano.

Os gráficos das funções E* e E** diferem apenas por uma translação.

Observe que E^**é zero para T_F = 32 (equivalente a 0^oC) e pequeno para temperaturas próximas a essa.

Além de comparar E^*com E^**graficamente, podemos trabalhar também com equações e inequações modulares vinculadas às situações com significado concreto, como, por exemplo:

a) Qual é a temperatura, em Fahrenheit, em que ambas as fórmulas cometem o mesmo erro? (resolve-se a equação modular E* = E** )

b) Quando a primeira fórmula comete um erro menor do que a segunda? (resolve-se a inequação modular E* < E ** )

c) Determine a condição para que a primeira fórmula não cometa erros superiores a 1^oF. (resolve-se a inequação modular E^*≤ 1)

Sabendo que E *<E ** para T_F> 41 (ou T_C> 5) e que E* > E** para T_F < 41 (ou T_C < 5), já podemos propor uma estratégia de escolha entre essas fórmulas em viagens para países de clima temperado que usem a escala Fahrenheit : é mais adequada na primavera e no verão, onde as temperaturas provavelmente são superiores a 5^oC, ao passo que é mais adequada no outono e no inverno, quando as temperaturas são inferiores a 5^oC.

Terceira fórmula:

A terceira fórmula difere da segunda pelo acréscimo de 10%, o que não compromete o cálculo mental, já que é uma porcentagem simples de calcular. Apesar de menos prática do que as duas anteriores, essa fórmula sempre apresenta aproximações melhores ou iguais às obtidas por .

Comparando-a com , as aproximações obtidas por só cometem erros maiores em um pequeno intervalo numérico nas proximidades de 50^oF. O erro E^***, associado ao cálculo de no lugar de T_C, será dado por:

A figura indica os gráficos das funções modulares E*, E** e E***.

Uma justificativa bastante simples para o fato de ser uma excelente aproximação para T_C pode ser dada através da seguinte manipulação algébrica:

Observando os gráficos e resolvendo a equação modular E*** = E *, é fácil verificar que E*** ≤ E** para qualquer valor de T_F, e que E*** > E * apenas para o que corresponde, aproximadamente, ao intervalo entre as temperaturas de 9,1^oC e 11,1^oC. Em relação a esse intervalo, deixo por conta do leitor a verificação de que E*** será muito pequeno, variando entre e de que o maior erro cometido por E^*** em relação a E^* será de 0,1^oC.

Em viagens para os EUA, se você quiser evitar a fórmula prática para não ter que calcular porcentagens mentalmente, então use as fórmulas práticas na primavera e no verão, e no outono e no inverno. Se o cálculo mental com uma porcentagem de 10% não lhe incomoda, então, utilize sempre a fórmula . Além dessa fórmula cometer um erro menor ou igual ao cometido por , ela só cometerá erros maiores do que os cometidos por para temperaturas em torno de 9,1^oC a 11,1^oC. Nesse intervalo, a maior diferença E***− E * será de 0,1^oC, o que não compromete o uso de no lugar de .