Outro dia, conversando com uma pessoa amiga sobre as vantagens e desvantagens de demonstrações usando “geometria clássica” ou “geometria analítica”, ela me mostrou duas demonstrações, via geometria clássica, do problema 255 cuja solução, por geometria analítica, foi publicada na RPM 62.

Achei as demonstrações muito simples e pensei que talvez outros leitores da RPM gostariam de conhecê-las. O enunciado do problema 255 é o seguinte: Na figura, ABCD é um quadrado, AOB é uma semicircunferência e X é um ponto do quadrado tal que XQ = XP, sendo XQ a distância de X ao lado BC e P a intersecção de XA com a semicircunferência. Qual é o lugar geométrico desses pontos X?

1 solução

Inicialmente, suponhamos AX > AP (o ponto X está fora do semicírculo).

No ∆AXN, AN = AX cos α eno ∆APB, AP = ABcos α

XQ = NB = AB − AN = AB − AX cos α .

XP = AX −AP = AX−AB cos α

Pelo enunciado, XQ = XP.

Então, AB(1 + cos α) = AX(1 + cos α) ⇒ ΑΧ = ΑΒ.

Ou seja, os pontos X descrevem um arco de circunferência de raio AB e centro A.

Um argumento semelhante mostra que, sendo AX < AP, temos α = 0, e, então, X estará no segmento AB.

2^a solução

Suponhamos, novamente, AX > AP.

∆PEX ≡∆NEB ( = = 90°; PX = NB por hipótese e os ângulos em E são opostos pelo vértice). Logo, PE = NE

.∆AEN ≡∆AEP (== 90; PE = NE (acima) e AE é lado comum). Logo, AP = AN.

Mas AX = AP + PX = AN + NB = AB e, novamente, os pontos X descrevem um arco de circunferência de raio AB.

Se AX < AP, argumentos de natureza geométrica mostrarão que X estará no segmento AB.

A pessoa que fez essas demonstrações gosta de citar uma frase de Jacob Steiner (1796-1863): “Os cálculos substituem o pensamento, enquanto a Geometria o estimula”. Será verdade?

♦ Escreve-nos o colega Paulo Argolo, por e-mail:

Embora os conceitos de proporcionalidade direta e inversa já tenham sido abordados várias vezes na RPM, penso que cabe mais alguma coisinha. Em suas definições de grandezas proporcionais, o Prof. Geraldo Ávila explicita que a constante de proporcionalidade deve ser positiva. Por outro lado, o Prof. Elon Lages Lima não faz tal restrição à constante. Bem, admitir valor negativo para tal constante conduz ao seguinte: grandezas diretamente proporcionais crescem em sentidos contrários, enquanto grandezas inversamente proporcionais crescem no mesmo sentido, o que contraria a noção habitual. Vejamos os exemplos: em y = −2x, quando x aumenta, y diminui. Em y = −2/x, quando x aumenta, y também aumenta.

RPM

Os exemplos dados pelo colega estão certos e vale a pena chamar a atenção para o fato. Lembramos, entretanto, que considerar a constante positiva ou um real qualquer depende do contexto. Quando as variáveis são medidas positivas, tomam-se as constantes positivas, mas quando se consideram números reais quaisquer para as variáveis, não há necessidade de se restringir a constante. É o que acontece quando se estudam as funções lineares, por exemplo. Os próprios autores citados consideram ora uma constante qualquer, ora só constantes positivas, como nos trechos a seguir.

Na RPM 8, Geraldo Ávila dá as seguintes definições: Definição1. Diz-se que duas variáveis (ou grandezas) x e y são proporcionais - mais especificamente, diretamente proporcionais - se estiverem assim relacionadas: y = kx ou y/x = k, onde k é uma constante positiva, chamada constante de proporcionalidade.

Definição 3. Se várias variáveis, digamos, x, y, z, w, r, s estão relacionadas por uma equação do tipo k constante, então dizemos que z é diretamente proporcional a x, a y e a w; e inversamente proporcional a r e a s.

Elon Lages Lima, na RPM 12, considera c como um número real qualquer para logo depois se restringir aos números positivos:

... diz respeito a uma grandeza proporcional a várias outras. Recordemos essa noção. Para que ela faça sentido é necessário, em primeiro lugar, que se tenha uma grandeza z que seja função de outras, digamos x e y. Isso significa que, cada vez que se atribuem valores específicos a x e y, fica determinado o valor de z. Nessas condições, diz-se que z é diretamente proporcional a x quando, mantendo-se y constante, o valor de z fica multiplicado por c quando se multiplica x por um número real c. Essa noção fica muito mais clara quando se utiliza a notação funcional z = f(x, y) para indicar a relação de dependência entre x, y e z. Nesse caso, a afirmação de que z é diretamente proporcional a x exprime-se pela igualdade f (c x, y) = c f (x, y), válida para quaisquer c, x, y.

Como se sabe (ver o livro Meu Professor de Matemática, p. 160), para que z = f(x, y) seja diretamente proporcional a x basta que se tenha f (n x, y) = n f (x, y) para n inteiro, desde que z seja uma função crescente de x, isto é, x < x' ⇒ f(x,y) < f (x,' y) .Como no livro citado, não consideraremos aqui grandezas representadas por números negativos.

Como em outras situações, em que falta uniformidade, o importante é manter, localmente, a coerência e a conveniência.

Respostas dos ...probleminhas
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