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Um leitor, via e-mail, fez várias perguntas sobre como indicar operações com dinheiro para alunos do ensino fundamental. Encontrou dificuldades na multiplicação e na divisão. Exemplificou: 5 x R$10,00 = R$50,00 (número de notas x quantia = quantia) R$50,00 ÷ R$10,00 = 5 (quantia ÷ quantia = número de vezes). É correto escrever R$0,25 ÷ R$0,50 = 0,5? E quando tivermos R$10,00 x R$ 50,00? (quantia x quantia = quantia ao quadrado?) RPM É conveniente deixar sempre bem clara a separação entre “operações com números” e as aplicações que estão sendo feitas. Assim, no caso da multiplicação, usando o exemplo acima, 10 x 50 = 500, sempre, mas não tem nenhum significado multiplicar 10 reais por 50 reais, assim como não tem significado multiplicar 10 anos por 50 anos, ou 10 objetos por 50 objetos. A mesma observação vale para a divisão. É prudente evitar frases do tipo “quantia ÷ quantia = número de vezes”. Ao resolver o problema “Quantas notas de dez eu preciso para obter R$ 50,00 ?”, é melhor escrever: 50 ÷10 = 5. Resposta: 5 notas de 10 reais. Quanto à pergunta “É correto escrever R$0,25 ÷ R$0,50 = 0,5?”, não há dúvida que 0,25 ÷ 0,50 = 1/2 = 0,5, mas “R$0,25 ÷ R$ 0,50 = 0,5” parece querer traduzir a pergunta “quantas moedas de 50 centavos cabem numa moeda de 25 centavos?” e responder: “meia moeda”. Escrever, perguntar e responder dessa maneira só pode causar confusão. Reiterando, então, é melhor fazer as contas apenas com os números e enunciar a resposta de acordo com a pergunta do problema.
De um leitor do Ceará: Três pessoas, Ana, Bia e Carla, têm idades (em número de anos) tais que a soma de quaisquer duas delas é igual ao número obtido invertendo-se os algarismos que formam a terceira. Sabe-se ainda que a idade de cada uma delas é inferior a 100 anos (cada idade, portanto, sendo indicada por um algarismo da dezena e um da unidade). Indicando o algarismo da unidade das idades de Ana, Bia e Carla, respectivamente, por A1, B1 e C1 e o da dezena respectivamente por A2, B2 e C2 , a soma das idades dessas três pessoas é:
RPM As idades de Ana, Bia e Carla são, respectivamente, 10 A2 + A1, 10 B2 + B1 e 10 C2 + C1. A soma S das idades é: S = 10(A2 + B2 + C2) + A1 + B1 + C1. (1) Pelo enunciado do problema: 102 A + A1 + 10 B2 + B1 = 10 C1 + C (2) 10 A2 + A1 + 10 C2 + C1 = 10 B1 + B2 (3) 10 B2 + B1 + 10 C2 + C1 = 10 A1 + A2 (4) Somando, membro a membro, as igualdades (2), (3) e (4) , obtém-se: 2S = 10(A1 + B1 + C1) + A2 + B2 + C2. (5) Substituindo o valor S, dado por (1), na igualdade (5), obtém-se 8(A1 + B1 + C1) = 19(A2 + B2 + C2). Como 8 e 19 são primos entre si e as somas nos parênteses são menores ou iguais a 27, necessariamente teremos: A1 + B1 + C1 = 19 e A2 + B2 + C2 = 8. (6) Subtraindo-se membro a membro as igualdades (2) e (3) e depois as igualdades (2) e (4), obtém-se: A1 + A2 = B1 + B2= C1 + C2 . (7) De (6) e (7) vê-se que: A1 + B1 + C1+ A2 + B2 + C2 = 27 = 3(A1 +A2). Portanto, A1 + A2 = B1 + B2= C1 + C2 = 9. (8) Substituindo (6) em (1), vê-se que S = 99. A alternativa certa é (d). Idades que satisfazem as condições do problema: 09, 27, 63; 09, 36, 54; 18, 27, 54 e várias outras.
César e Sergião são amigos e gostam de fazer caminhadas. Enquanto César dá 4 passos, Sergião dá 5 passos, contudo, 2 passos de César equivalem a 3 passos de Sergião. Certo dia eles resolveram caminhar juntos, porém o César chegou atrasado e o Sergião já havia dado 20 passos. Quantos passos César teve que dar para alcançar seu amigo, que não alterou o seu ritmo até o momento do encontro? RPM O problema envolve a fórmula “espaço = velocidade x tempo” (s = vt). Para a linguagem ficar mais clara, vamos supor que: 1 passo do César equivale a 1 metro; então 1 passo do Sergião equivale a 2/3 metro. Vamos olhar para as velocidades: sendo vc a velocidade de César e vs a de Sergião, como no tempo que César dá 4 passos (anda 4 metros), Sergião dá 5 passos (anda 10/3 metros), temos
Eles vão caminhar juntos: César vai percorrer y metros num tempo T e nesse mesmo tempo T Sergião vai percorrer y menos os 20 passos que já havia dado, isto é, vai percorrer y – 40/3 metros. Então,
De um leitor de São Paulo: Gostaria que vocês me auxiliassem na resolução do seguinte problema: De quantos modos podemos permutar os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6 de modo que os ímpares fiquem sempre em ordem crescente? RPM Inicialmente pense nas permutações dos números ímpares 1, 3 e 5. Existem 3! = 6 permutações e em apenas uma delas os números estarão em ordem crescente. Pense agora nas 6! = 720 permutações dos números 1, 2, 3, 4, 5, 6. Em apenas 1/6 delas os números 1, 3 e 5 aparecerão em ordem crescente. Resposta: 720/6 = 120.
Um leitor de Porto Alegre pede ajuda para resolver o problema a seguir. Determine a soma dos algarismos da solução da equação:
RPM Racionalizando as parcelas, obtém-se
Efetuando a soma, vem
Elevando-se ambos os membros ao quadrado, obtém-se
Elevando novamente ao quadrado, chegamos a x = 249 999. Logo, a soma dos algarismos da solução é 42.
Um leitor do Ceará escreveu: gostaria de uma ajuda com a questão abaixo. Agradeço sua atenção por tentar. Há pelo menos duas onças na floresta. Cada onça mordeu pelo menos três antas. Para cada duas onças, há exatamente uma anta que foi mordida por ambas. Para cada duas antas, há pelo menos uma onça que mordeu ambas. Uma das onças mordeu três antas. Afinal, quantas onças e quantas antas há na floresta? RPM Tentamos e... encontramos uma solução! Que tal vocês tentarem? Publicaremos, no próximo número, a nossa solução e as que os leitores nos enviarem. |
