263 . Determine, justificando, o conjunto das soluções reais da inequação cos(sen x) > sen(cos x).

264 . Determinar os ângulos diedrais de um octaedro regular, isto é, os ângulos formados por duas faces adjacentes do octaedro.

265 . Seja ∆ABC um triângulo tal que  = 60^o. Seja H o seu ortocentro e J AC tal que AJ = 2JC e JC = JH. Mostre que ∆ABC é eqüilátero.

(Proposto por Carlos H. B. Gonçalves, SP.)

266 . Seja p(x) o polinômio de grau 2007, com coeficientes reais,

Determine o resto da divisão de p(x) por x² + 1.

1 . A Câmara de vereadores de uma cidade é composta de 44 membros. Na última eleição foram escolhidos alguns candidatos da situação e outros da oposição. Dos vereadores da situação, 5/6 são do PT, e dos vereadores da oposição, 3/10 são do PFL. Quantos são os vereadores do PFL?

2 . Anteontem meu pai tinha 59 anos e no ano que vem ele fará 62 anos. Qual é a data de aniversário dele?

3 . Era uma vez uma inacessível e isolada ilha. Nela havia três tribos indígenas, cada uma delas distribuída em duas aldeias, como mostra o mapa. Esses índios eram extremamente ferozes e belicosos. Se dois índios de tribos diferentes por acaso se encontravam, acabavam brigando até um liquidar o outro. Por causa desse sério problema, os chefes das três tribos reuniram-se na tentativa de encontrar alguma solução. Eles pensaram em construir três trilhas, cada uma delas ligando as duas aldeias da mesma tribo, sem que duas quaisquer delas se cruzassem. Assim, cada índio andaria apenas pela sua respectiva trilha, eliminando desse modo a possibilidade de índios de tribos diferentes se encontrarem. Fosse você um dos caciques, como resolveria o problema?

Respostas na seção Cartas

a) se 2ⁿ − 1 é primo, então, n é primo;

b) se 2ⁿ + 1 é primo, então, n é da forma 2^k com k natural.

c) se n > 2 e um dos números 2ⁿ − 1 ou 2ⁿ + 1 é primo, então, o outro é composto.

Solução

a) Suponhamos que o número 2ⁿ − 1 é primo. Se n fosse composto, então teríamos n = ab, com a > 1 e b > 1, o que implica: 2ⁿ − 1 = 2^ab − 1 = (2^a)^b − 1 = (2^a − 1)(2^{a(b − 1)} + 2^{a(b − 2)} + ... + 2^a + 1). Como a > 1, os dois fatores do segundo membro são ambos maiores do que 1, isto é, 2ⁿ − 1 seria um inteiro composto, o que contraria a hipótese. Logo, n é primo.

b) Suponhamos que 2ⁿ + 1 é um número primo. Para n = 1, 2ⁿ + 1 = 3 e n = 2⁰. Para o caso n > 1, lembremos inicialmente o seguinte: se d > 1 é um número ímpar, então x = −1 é raiz de x^d +1 = 0; logo, x^d + 1 admite a fatoração x^d +1 = (x + 1)(x^d−1 − x^d−2 + ... + x² − x + 1).

Então, se n >1 tem um divisor ímpar, d, n = dq e 2ⁿ + 1 = 2^dq + 1 = (2^q)^d + 1 e (fazendo 2^q = x) temos 2ⁿ + 1 = (2^q + 1)(2^{(d − 1)q} − 2^{(d − 2)q}+ ... + 2^2q −2^q + 1) com 1 < 2^q + 1 < 2^dq + 1, o que é impossível, já que por hipótese 2^dq + 1 = 2ⁿ + 1 é um número primo. Logo, 2ⁿ + 1 só pode ser um número primo se o expoente n não tem divisores ímpares, ou seja, é da forma 2^k com k natural.

c) 1 solução: De a) e b) podemos dizer que, se 2ⁿ − 1 é primo, então n > 2 é primo; logo, não pode ser da forma 2^k com k natural, o que implica 2ⁿ + 1 composto. Se 2ⁿ + 1 é primo, então n > 2 não é primo, já que é da forma 2^k com k natural maior que 1, o que implica 2ⁿ − 1 composto.

2 solução: Como 2ⁿ − 1, 2ⁿ , 2ⁿ + 1 são inteiros consecutivos para n > 2, n N, então 3 divide um desses números e 3 não divide 2ⁿ (pois 3 não divide 2); logo, 3 dividirá 2ⁿ − 1 ou 2ⁿ + 1.

Se 2ⁿ − 1 é primo, 3 não é fator de 2ⁿ − 1; logo, 3 divide 2ⁿ + 1. Nesse caso, 2ⁿ + 1 é composto. De modo análogo obtém-se que 2ⁿ − 1 é composto se 2ⁿ + 1 for primo.

(Soluções tiradas das enviadas por Amaro J. de Oliveira Filho, PE, e Robério Landim, CE.)

256 . No mecanismo da figura, articulado nos pontos A e C, o ponto A está fixo na reta r e B percorre r. Supondo AC = BC = CD, mostre que a ponta de um lápis em um ponto P da vareta maior, tal que PC ≠ AC, descreve uma elipse (podendo ser uma circunferência ou um segmento).

Solução

Como os triângulos ACB e ACD são isósceles, podemos concluir que os ângulos de suas bases são complementares e, portanto, o segmento AD é perpendicular à reta r. Assim, o lápis em D, P = D, descreve um segmento na reta perpendicular a r em A. Se P = B, o traço é um segmento em r.

No sistema de coordenadas cartesianas com origem em A, eixo x = r e eixo y = reta AD, quando P = (x, y) está no segmento BD, temos

o que implica

Logo, o lápis em P descreve, no 1 quadrante, um arco de:

uma elipse de focos em r, se P está entre B e C;

uma circunferência se P = C

e uma elipse de focos no eixo y se P está entre D e C.

Deixamos para o leitor mostrar que, se P está na semi-reta BD com BP > BD, o lápis descreve um arco de elipse com focos no eixo y, no 2 quadrante.

(Solução adaptada das enviadas por vários leitores.)

 

257 . O resultado do jogo Mega Sena consiste em 6 números sorteados de um conjunto de 60 números, de forma independente e equiprovável. Uma aposta básica é uma aposta em 6 números. Uma aposta em 7 números custa C_7,6 = 7 vezes o custo da aposta básica. Um apostador A que faz uma aposta de 7 números paga o mesmo valor que um apostador B que faz sete apostas básicas, de 6 números cada uma.

a) Quem tem mais chance de ganhar o prêmio máximo, isto é, acertar os 6 números sorteados?

b) Quem tem mais chance de fazer uma quina, isto é, acertar exatamente 5 dos 6 números sorteados?

Solução

a) A e B têm mesma chance, pois, para A ganhar, com uma aposta de 7 números, todos os 6 números sorteados na Mega Sena devem estar entre os 7 apostados, logo, existem C_7,6 = 7 possibilidades favoráveis, o mesmo que B, que faz 7 apostas (diferentes) de 6 números.

b) Para A ganhar, com uma aposta de 7 números, dos 6 números sorteados na Mega Sena , 5 devem estar entre os 7 apostados e o outro entre os 53 restantes. Assim, existem possibilidades favoráveis para A acertar a quina. Para B, que faz 7 apostas (diferentes) de 6 números, ganhar, dos 6 números sorteados na Mega Sena, 5 devem estar entre os 6 números apostados e o outro entre os 54 restantes. Assim, existem possibilidades favoráveis para B acertar a quina.

Portanto, B tem mais chances de ganhar.

(Solução enviada por Rogério César dos Santos, DF.)

258 . Um copo na forma de um cilindro circular reto está com água até 3/4 de sua altura. Qual é o maior ângulo, α, que podemos inclinar o copo sem derramar água?

Solução

Vamos resolver um problema mais geral: suponhamos que a altura do copo seja h e que o nível da água no copo tenha altura kh com 1/2 < k < 1. (É possível resolver o problema no caso em que 0 < k <1/2 usando técnicas de integração. Deixamos o desafio para os leitores interessados.)

Sendo R o raio da base do copo, o volume correspondente à parte sem água do copo na posição vertical é igual a πRh(1−k). Esse mesmo volume, no copo inclinado, pode ser calculado como metade do volume do cilindro com raio da base igual a R e altura x.

Logo, obtém-se Como x = 2R tg α, temos

Em particular, para

(Solução adaptada da enviada por Amadeu Carneiro de Almeida, RJ.)

 

Relação dos leitores que enviaram soluções dos problemas da RPM 59
Amadeu Carneiro de Almeida, RJ: 256, 258	João Fernandes de Moura, RJ: todos
Amaro José de Oliveira, PE: 255, 258	José Dimas de Souza Meneghin, MG: 257
Américo Antonio Frigo, SP: 256	Mario Dalcin, Uruguai: 256
Anderson A. de Araújo, SP: 255, 257, 258	Milton Dini Maciel, SP: 256, 257, 258
Antonio José Francisco RJ: 258	Paulo Roberto Furtado, RJ: todos
Antonio Matos dos Santos, PR: 258	Robério Landim de Carvalho, CE: 255
Calvet Ramos Elias, MG: 258	Rogério César dos Santos, GO: 256, 257
Carl Henning Schinke, RJ: 256, 257, 258	Sebastião Maurício dos Santos, MG: 258
Diobel Gomes Travessa, SP: 258	Sebastião Paulo Tonelli, SP: 258
Eudes Antonio da Costa, TO: 258	Tsunediro Takahashi, SP: 258
Francisco Blasi Jr., SP: 256, 258

Nota: O leitor Nilton Silveira, MG, enviou a solução correta do problema 254 e, por falha nossa, seu nome não foi publicado na relação de acertadores da RPM 62. A ele nossas sinceras desculpas.