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Nota O professor Cláudio Possani, um dos responsáveis por esta seção desde a RPM 45, está sendo substituído nessa tarefa pelo professor Eduardo Tengan, PhD/Emory-USA. A RPM agradece a valiosa participação do professor Cláudio Possani na seção com a certeza de que ele continuará colaborando com a revista, o que vem fazendo desde seus primeiros números. Aviso
Para podermos organizar melhor a correção dos problemas enviados pelos leitores, estamos estabelecendo prazos para o recebimento de suas soluções, após os quais elas não serão corrigidas. Para os problemas 263, 264, 265 e 266, esse prazo limite é 12/10/07.
263 . Determine, justificando, o conjunto das soluções reais da inequação cos(sen x) > sen(cos x). 264 . Determinar os ângulos diedrais de um octaedro regular, isto é, os ângulos formados por duas faces adjacentes do octaedro. 265 . Seja ∆ABC um triângulo tal que  = 60o. Seja H o seu ortocentro e J (Proposto por Carlos H. B. Gonçalves, SP.) 266 . Seja p(x) o polinômio de grau 2007, com coeficientes reais, Determine o resto da divisão de p(x) por x2 + 1.
1 . A Câmara de vereadores de uma cidade é composta de 44 membros. Na última eleição foram escolhidos alguns candidatos da situação e outros da oposição. Dos vereadores da situação, 5/6 são do PT, e dos vereadores da oposição, 3/10 são do PFL. Quantos são os vereadores do PFL? 2 . Anteontem meu pai tinha 59 anos e no ano que vem ele fará 62 anos. Qual é a data de aniversário dele?
a) se 2n − 1 é primo, então, n é primo; b) se 2n + 1 é primo, então, n é da forma 2k com k natural. c) se n > 2 e um dos números 2n − 1 ou 2n + 1 é primo, então, o outro é composto. Solução a) Suponhamos que o número 2n − 1 é primo. Se n fosse composto, então teríamos n = ab, com a > 1 e b > 1, o que implica: 2n − 1 = 2ab − 1 = (2a)b − 1 = (2a − 1)(2a(b − 1) + 2a(b − 2) + ... + 2a + 1). Como a > 1, os dois fatores do segundo membro são ambos maiores do que 1, isto é, 2n − 1 seria um inteiro composto, o que contraria a hipótese. Logo, n é primo. b) Suponhamos que 2n + 1 é um número primo. Para n = 1, 2n + 1 = 3 e n = 20. Para o caso n > 1, lembremos inicialmente o seguinte: se d > 1 é um número ímpar, então x = −1 é raiz de xd +1 = 0; logo, xd + 1 admite a fatoração xd +1 = (x + 1)(xd−1 − xd−2 + ... + x2 − x + 1). Então, se n >1 tem um divisor ímpar, d, n = dq e 2n + 1 = 2dq + 1 = (2q)d + 1 e (fazendo 2q = x) temos 2n + 1 = (2q + 1)(2(d − 1)q − 2(d − 2)q+ ... + 22q −2q + 1) com 1 < 2q + 1 < 2dq + 1, o que é impossível, já que por hipótese 2dq + 1 = 2n + 1 é um número primo. Logo, 2n + 1 só pode ser um número primo se o expoente n não tem divisores ímpares, ou seja, é da forma 2k com k natural. c) 1 2 Se 2n − 1 é primo, 3 não é fator de 2n − 1; logo, 3 divide 2n + 1. Nesse caso, 2n + 1 é composto. De modo análogo obtém-se que 2n − 1 é composto se 2n + 1 for primo. (Soluções tiradas das enviadas por Amaro J. de Oliveira Filho, PE, e Robério Landim, CE.)
Solução Como os triângulos ACB e ACD são isósceles, podemos concluir que os ângulos de suas bases são complementares e, portanto, o segmento AD é perpendicular à reta r. Assim, o lápis em D, P = D, descreve um segmento na reta perpendicular a r em A. Se P = B, o traço é um segmento em r. No sistema de coordenadas cartesianas com origem em A, eixo x = r e eixo y = reta AD, quando P = (x, y) está no segmento BD, temos
Logo, o lápis em P descreve, no 1
(Solução adaptada das enviadas por vários leitores.)
257 . O resultado do jogo Mega Sena consiste em 6 números sorteados de um conjunto de 60 números, de forma independente e equiprovável. Uma aposta básica é uma aposta em 6 números. Uma aposta em 7 números custa C7,6 = 7 vezes o custo da aposta básica. Um apostador A que faz uma aposta de 7 números paga o mesmo valor que um apostador B que faz sete apostas básicas, de 6 números cada uma. a) Quem tem mais chance de ganhar o prêmio máximo, isto é, acertar os 6 números sorteados? b) Quem tem mais chance de fazer uma quina, isto é, acertar exatamente 5 dos 6 números sorteados? Solução a) A e B têm mesma chance, pois, para A ganhar, com uma aposta de 7 números, todos os 6 números sorteados na Mega Sena devem estar entre os 7 apostados, logo, existem C7,6 = 7 possibilidades favoráveis, o mesmo que B, que faz 7 apostas (diferentes) de 6 números. b) Para A ganhar, com uma aposta de 7 números, dos 6 números sorteados na Mega Sena , 5 devem estar entre os 7 apostados e o outro entre os 53 restantes. Assim, existem Portanto, B tem mais chances de ganhar. (Solução enviada por Rogério César dos Santos, DF.)
Solução Vamos resolver um problema mais geral: suponhamos que a altura do copo seja h e que o nível da água no copo tenha altura kh com 1/2 < k < 1. (É possível resolver o problema no caso em que 0 < k <1/2 usando técnicas de integração. Deixamos o desafio para os leitores interessados.)
![]() ![]() Em particular, para (Solução adaptada da enviada por Amadeu Carneiro de Almeida, RJ.)
Nota: O leitor Nilton Silveira, MG, enviou a solução correta do problema 254 e, por falha nossa, seu nome não foi publicado na relação de acertadores da RPM 62. A ele nossas sinceras desculpas.
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