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A exploração de softwares de Geometria Dinâmica nos permite realizar, com certa facilidade, investigações sobre propriedades geométricas que dificilmente conseguiríamos observar sem esse recurso. Por exemplo, consideremos parábolas de mesma diretriz e focos “passeando” sobre uma circunferência: o que acontece com os vértices? Descrevem alguma curva conhecida? Embora a empreitada de determinar o lugar geométrico dos vértices possa ser levada a efeito utilizando lápis, papel, régua e compasso, certamente o tempo gasto na execução seria muito grande. Utilizamos o Cabri II, que permite, de forma rápida, levar a cabo a investigação poupando muito tempo de trabalho.
Iniciamos traçando uma circunferência C e uma reta d. Na circunferência colocamos um ponto F, que será o foco da Lembramos que o vértice da parábola é o ponto médio do segmento FG, que representa a distância entre o foco F e a diretriz d. Movendo a reta d ou a circunferência C, mantendo seu raio constante, observamos que o formato da elipse descrita pelos vértices V não se altera. Alterando o raio da circunferência C, observamos que a elipse descrita pelos vértices V se dilata ou se comprime. Dessa forma, conjeturamos que a curva descrita pelos vértices V, mantendo a circunferência C e a reta d fixas, é uma elipse e que seu formato só depende do raio da circunferência C. Para provarmos essa conjectura, consideremos a circunferência C com centro na origem de um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, e a reta d paralela ao eixo x. Assim, a circunferência tem equação x2 + y2 = r2, e a diretriz, equação y = b.
Para obtermos a equação da curva que representa a “trajetória” descrita pelos vértices V, determinamos as coordenadas do vértice da parábola em função das equações dadas.
Assim, Então, as ordenadas de V satisfazem Lembramos que uma elipse com centro (x0; y0) e eixos paralelos aos eixos cartesianos tem equação Logo, (1) é a equação de uma elipse de centro no ponto (0; b/2), cujo comprimento do eixo maior, r, é sempre o dobro do comprimento do menor, r/2. Além disso, essa elipse tem sempre a mesma excentricidade cujo valor é 3/4, independentemente do raio. Desse modo, alterando o raio da circunferência, a elipse poderá se expandir ou contrair, mantendo suas proporções. Os procedimentos realizados até aqui permitem colocar outras perguntas: 1. Se os focos das parábolas fossem pontos de uma elipse, qual a curva que os seus vértices descreveriam? 2. Caso os focos das parábolas fossem pontos de uma hipérbole, que curva seria determinada pelos seus vértices? A resposta para a primeira pergunta pode ser obtida pelo leitor considerando o foco F na elipse de equação A resposta à segunda pergunta pode ser obtida fazendo-se os focos das parábolas percorrerem a hipérbole de equação Como o leitor pode observar, as investigações geométricas aqui relatadas foram motivadas pelo uso de software gráfico. Os recursos que essa tecnologia proporciona podem nos levar a descobertas que, antes do advento dos computadores, seriam pouco viáveis. Assim, desafiamos o amigo leitor a constatar os resultados aqui descritos e a procurar desenvolver outras investigações com esse recurso. Descrevemos, a seguir, os recursos utilizados para essa investigação, bem como os passos que foram seguidos para as construções.
1. Construa a circunferência e a reta e atribua a letra d para a reta. 2. Coloque um ponto sobre a circunferência e designe-o por F. Construção da parábola 3. Coloque um ponto sobre a reta d e o designe por A. 4. Trace por A uma perpendicular à reta d e a designe por r. 5.Trace a mediatriz relativa aos pontos F e A e a designe por t. 6. Designe por P a interseção das retas r e t. Note que P é um ponto eqüidistante de F e da reta d. Logo, P é um ponto da parábola. 7. Acione a opção “Lugar Geométrico” e acione o ponto P e em seguida o ponto A com o botão esquerdo do mouse, para formar a parábola. Se a parábola não ficar uma curva suave, selecione a parábola, acione o item (da barra de menu) “Opções”, seguido de “Preferências...”, escolha o item “Opções para Lugares Geométricos” e coloque 1000 na janelinha “Número de objetos no lugar geométrico”. Construção do vértice 8. Trace por F a perpendicular à reta d e a designe por s. 9. Designe por B a interseção de s e d. 10. Designe por V o ponto médio relativo aos pontos F e B. Note que V é o vértice da parábola. Construção da elipse 11. Na opção “Lugar Geométrico”, acione o ponto V e em seguida o ponto F com o botão esquerdo do mouse para formar a trajetória do vértice da parábola, ao se mover o foco sobre a circunferência.
Referências bibliográficas NASCIMENTO, M. C., PAULOVICH, L., SOUZA, A. R. Vértices de famílias de parábolas. Revista do Professor de Matemática, vol. 41, p. 7-11, 1999. WINTERLE, P. Vetores e Geometria Analítica. São Paulo: Makron Books, 2000.
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parábola que desejamos construir, cuja diretriz é a reta d. A definição geométrica de parábola nos diz que essa curva é o lugar geométrico dos pontos do plano que são eqüidistantes de uma reta fixa, denominada diretriz, e de um ponto fixo fora dessa reta, denominado foco. Cuidamos para que F não esteja na interseção da circunferência C com a reta d. Ao movimentarmos o foco F sobre a circunferência, observamos que outras parábolas vão se formando. Depois de deslocarmos o foco F sobre toda a circunferência, observamos que os vértices V das parábolas obtidas descrevem uma trajetória no plano, cujo formato parece o de uma elipse.
Como os pontos F, V e G estão na mesma reta perpendicular ao eixo x, eles têm a mesma abscissa x. Podemos considerar F = (x; _), V = (x; _) e G = (x; b), pois G está na diretriz d, cuja equação é y = b. Como F está na
circunferência de equação x2+ y2 = r2 , sua ordenada é 
, sendo que o sinal indica se F está acima ou abaixo do eixo x.
Elevando ambos os membros da igualdade ao quadrado, somando x2/4 a ambos os membros e, em seguida, dividindo ambos os membros por (r/2)2, obtemos: 
sendo: 2a e 2b as medidas dos seus eixos; se c > 0 é tal a2 = b2 + c2, 2c é a distância entre os focos da elipse e a excentricidade da elipse é dada por 
com 0 < e < 1 (a excentricidade indica o quanto a elipse é “achatada”: quanto mais próxima de zero está a excentricidade, mais a elipse se parece com uma circunferência e, quanto mais próxima de 1, mais achatada ela é). 
e a diretriz d com equação y = y0. Procedendo como no caso da circunferência verificamos que os vértices das parábolas descrevem uma curva de equação
Note que, se b = 2a, os vértices das parábolas descreverão uma circunferência de raio a, caso contrário descreverão uma elipse. 
Com procedimentos semelhantes aos anteriores, verificamos que os vértices das parábolas descrevem uma curva de equação