José Marcos Lopes
FEIS - UNESP

Introdução

A RPM nos tem brindado com inúmeros artigos sobre cálculo aproximado de raízes quadradas, de modo que achávamos que já conhecíamos todos os métodos elementares para essa finalidade. Qual não foi a nossa surpresa ao depararmos com um “novo” método ao lermos um artigo de M. A. Grant em [1] (depois explicamos as aspas).

Apresentamos o método através de um exemplo. Seja a₁ = 4 uma primeira aproximação de . Temos

Observamos assim uma segunda aproximação a₂ = 33/8 de . Notando que a₂ = 4,125 e sabendo que com 11 casas exatas, vemos que conseguimos uma aproximação melhor do que a primeira. Prosseguindo com o mesmo método, mas agora tomando a₂ no lugar de a₁, temos

Obtivemos assim uma terceira aproximação a₃ = 2177/ 528 ≈ 41231060606, melhor do que a segunda. O estudante pode prosseguir com os cálculos e verificar que cada iteração fornece uma aproximação melhor do que a anterior.

Vejamos outro exemplo começando com temos

Sabendo que essa aproximação de tem erro apenas na última casa, vemos que o método parece ser muito bom.

Por que o método funciona? Uma primeira explicação pode advir da propriedade de que, se s é um número real tal que 0 < s < 1, então s²< s. Assim, se a é uma aproximação de tal que temos e pode-se obter uma aproximação melhor do que a.

Os seguintes cálculos podem aprofundar nossa compreensão sobre o que está ocorrendo. Seja r > 0 um número real e seja a > 0 uma aproximação de tal que temos

Supondo a > 1/2, obtemos e assim a aproximação (r + a²)/ 2a é melhor do que a. Entretanto, examinando vários exemplos, vemos que para aproximar não é necessário começar com a satisfazendo as condições e a > 1/2. Por exemplo, iniciando com e aplicando sucessivamente o método acima nove vezes, obtemos em que as dez primeiras casas são exatas.

Qual é então a explicação?

Vimos que, dada uma aproximação a₁de , calculando obtemos uma segunda aproximação a₂ = (r + a₁²)/ 2a₁. Essa expressão pode ser reescrita da seguinte forma:

Essa fórmula já é conhecida do leitor da RPM (confira as referências [2]). Vemos assim que o método aqui apresentado não é propriamente novo, por isso usamos aspas no termo “novo” no primeiro parágrafo deste texto.

Em [1] Grant também observa que a convergência do método pode ser acelerada se tomarmos potências 2n, com n > 2 inteiro. Por exemplo, retomando os cálculos feitos na Introdução, temos

que fornece, com uma única iteração, a aproximação a₃ ≈ 4,12310606 obtida na Introdução, com seis casas exatas. Tomando a potência 6, uma única iteração fornece ≈143649/34840 ≈ 4,1231056257 com dez casas exatas.

Conforme observamos anteriormente, o método apresentado estará perfeitamente justificado com o resultado:

Seja r > 0 um número real. A seqüência definida por

converge para .

A demonstração desse resultado fica bastante simplificada com o

Lema

Seja r > 0 um número real, e sejam a > 0 e b > 0 números reais tais que r = ab. Denotamos c = (a + b)/2. Valem as seguintes propriedades:

i) Se a = (ou b = ), então c = ;

ii) Se a < b, então a < < c < b

iii) Se a < b, então

Demonstração

i) é claro. Vejamos ii). De r = ab e de a < b temos a < < b. Ainda

do que segue <c. Ainda de a < b temos c = (a + b)/2 < (b + b)/2 = b, ou c < b. Isso completa a demonstração de ii).

Vejamos agora iii). Como a < b, temos a<< c < b. Portanto,

Mas

Portanto,

Isso termina a demonstração do Lema.

Passamos agora à demonstração do resultado principal.

Notemos que a₁é a média aritmética de a₀ e de r/a₀, e que a₀(r/a₀) = r. Notemos ainda que a₂ é a média aritmética de a₁ e de r/a₁, e que a₁(r/a₁) = r, e assim por diante. Estamos na posição de aplicar o Lema, sendo que, para cada i > 0, temos a = a_i e b = r/a_i ou vice-versa, e c =a_i+1.

Se a₀ = , temos a₁= , por i) do Lema. Reaplicando i), temos a₀= , e assim sucessivamente, temos a_n= para todos n > 0.