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| José Paulo Carneiro 1. O número Para responder a isso, sejam Então,
Porém, a + b = 20, enquanto ab = 100 − 108 = −8 e, portanto, Como desconfiamos que o tal número possa ser igual a 2, que tal verificar se 2 satisfaz a equação? De fato, satisfaz, já que 23 + 6 x 2 − 20 = 0. Isso acarreta que o polinômio x3 + 6x − 20 é divisível por x − 2. Efetuando a divisão, temos x3 + 6x − 20 = (x − 2)( x2 + 2x + 10 ) = ( x− 2) [( x +1)2 +9]. Como (x + 1)2 + 9 > 0 para todo x real, vem que a única raiz real do polinômio x3 + 6x − 20 é 2. Recapitulando: por um lado, 2 é a única raiz real da equação x3 + 6x − 20 = 0; por outro lado, Conclusão: 2. Será que há muitos casos como esse? A resposta é sim. Para ver isso, vamos generalizar a equação x3+ 6x = 20. Colocamos o lado esquerdo na forma mais geral x3+ 3ax e o lado direito na forma k3 + 3ak (onde a e k são inteiros positivos), de modo que a equação x3+ 3ax = k3 + 3ak tem uma raiz igual a k. Fatorando o polinômio x3+ 3ax − (k3 + 3ak), encontra-se: x3+ 3ax − (k3 + 3ak) = (x − k)(x2 + kx +k2 + 3a). Como o fator x2 + kx + k2 + 3a = (x + k/2)2 + 3k2/4 + 3a é positivo para qualquer valor real de x, então k é a única raiz real da equação x3 + 3ax = k3 +3ak. Por outro lado, utilizando o clássico método de Cardano para equações do 3
Os correspondentes valores para u são, respectivamente,
Como z1 z2 = − a 3, então, u1 u2= − a, de modo que o único valor para x é Alguns exemplos : Esses exemplos significam que:
Deve ser observado que alguns valores de k e a tornam a expressão trivial, não dando aparência de irracional. Assim, por exemplo, para k = 1 e a = 2, obtemos:
Analogamente, para k = 2 e a = 3, obtemos:
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tem um bocado de aparência de ser irracional, não é mesmo? No entanto, usando uma calculadora científica com 8 decimais, encontramos: 
e 
. Logo, para a soma das duas parcelas, encontramos: 2,0000000. Será que esse número é realmente igual a 2 (nesse caso, ele não só seria racional, como até mesmo inteiro), ou será que foi só um problema da aproximação usada pela calculadora? 
Logo, 
Segue que x3 = 20 − 6x, ou seja, x é uma raiz da equação x3 + 6x − 20 = 0. 
é real e satisfaz a equação x3 + 6x − 20 = 0. 
isto é, o número procurado não só é racional, como é inteiro. 
grau (ver RPM 25, p.15), as substituições sucessivas x = u − a/u e z = u3 transformam a equação x3 + 3ax = k3 +3ak na equação do segundo grau z2 − k(k2 + 3a) z − a3 = 0. O discriminante dessa equação é ∆= k2(k2 +3a)2 + 4a3> 0 e, portanto, suas raízes reais são
e esse valor tem que coincidir com k. Portanto, 
onde b = k(k2 + 3a)/2 e c = k2(k2 + 3a)2/4 + a3.
