259. Seja P(x) = x¹⁰ + a₁x⁹ + a₂x⁸ + ... + a₉x + 1, com a_i > 0, i = 1, ..., 9. Prove que, se as raízes de P são reais, então P(2) > 3¹⁰.

260. Dado um segmento AB, achar, justificando, o lugar geométrico dos pontos X que são vértices de triângulos ABX tais que a medida do ângulo interno no vértice A é o dobro da medida do ângulo interno no vértice B.

261. Dados (n + 1) números inteiros positivos, nenhum deles maior que 2n, n > 2, mostre que

a) existem dois deles tais que um é múltiplo do outro;

b) existem dois deles que são primos entre si.

(Enviado por D. Raphael.)

262. Uma matriz quadrada 3 x 3 é formada por números inteiros, sendo dois deles pares e os demais ímpares, distribuídos de forma eqüiprovável. Calcule a probabilidade de o determinante dessa matriz ser um número ímpar. Resolva o mesmo problema para uma matriz 4 x 4, com dois termos pares e catorze ímpares.

1. Uma escola tem 18 professores. Um deles se aposenta e é substituído por um professor de 22 anos. Com isso, a média aritmética das idades dos professores diminui de 2 anos. Qual a idade do professor que se aposentou?

2. Numa caixa há 21 envelopes fechados. Dentro de 7 deles há uma nota de R$ 50,00 e dentro de outros 7 uma nota de R$ 100,00. Sete envelopes estão vazios. Como efetuar a distribuição dos 21 envelopes entre 3 pessoas de modo que cada uma receba a mesma quantia em dinheiro e o mesmo número de envelopes?

3. César e Sergião são amigos e gostam de fazer caminhadas. Enquanto César dá 4 passos, Sergião dá 5 passos, contudo, 2 passos de César equivalem a 3 passos de Sergião. Certo dia eles resolveram caminhar juntos, porém o César chegou atrasado e o Sergião já havia dado 20 passos. Quantos passos César teve que dar para alcançar seu amigo que não alterou o seu ritmo até o momento do encontro?

(Tirados do livro Para gostar de Matemática, de Chico Nery.)

Respostas na seção Cartas.

250. Na figura, temos duas circunferências tangentes em A. Mostre que os segmentos DE e BC são paralelos.

Solução

Para mostrar que os segmentos DE e BC são paralelos basta mostrar que os ângulos alternos internos e . Para isso considere a reta t tangente às duas circunferências no ponto A. Como ângulos inscritos e semi-inscritos num arco de circunferência medem a metade do arco, tem-se que

(Solução enviada por diversos leitores.)

251. Sabe-se que o número de 7 algarismos 21358ab, em que a é o dígito das dezenas e b o das unidades, é divisível por 99. Determine a e b.

Solução

Como 21358ab é divisível por 99, temos que 21358ab = 99q, q natural e 0 < a, b < 9.

Logo,

2135800 < 99q < 2135899 ou 21573,7373... < q < 21574,7373... . Sendo q um natural, então, q = 21574.

Assim, 21358ab = 99. 21574 = 2135826, o que implica a = 2 e b = 6.

252. (Teste da diagonal) Dois retângulos ABCD e A’B’C’D’ são sobrepostos como na figura. Prove que os retângulos são semelhantes se e só se as diagonais AC e A’C’ estão na mesma reta. Logo, para verificar se dois retângulos são semelhantes, basta colocá-los como na figura e verificar se as diagonais AC e A’C’ estão na mesma reta.

Solução

Suponhamos inicialmente que as diagonais estejam na mesma reta. Nesse caso, os triângulos ABC e A’B’C’ são semelhantes e, portanto, Analogamente, prova-se que os triângulos ACD e A’C’D’ são semelhantes. Logo,

o que implica a semelhança dos retângulos ABCD e A’B’C’D’.

Vamos agora provar a recíproca. Suponhamos que os retângulos sejam semelhantes. Temos então e, como os ângulos em B e B’ são retos, os triângulos ABC e A’B’C’ são semelhantes. Assim, os ângulos e são congruentes e, portanto, as diagonais estão na mesma

253. Determine o resto da divisão de 12⁹⁹ + 14⁹⁹ por 169.

Solução

Das igualdades

temos

Logo, o resto da divisão de 12⁹⁹ + 14⁹⁹ por 169 = 13² é igual ao resto da divisão de por 169, que é 39.

É interessante observar que não podemos fazer, para calcular o resto, asimplificação pois os quocientes das duas divisões indicadas nas frações são iguais, mas os restos não.

(As redações das soluções dos problemas 251, 252 e 253 são de Cíntia Cristina da Silva, SP, baseadas em soluções enviadas por vários leitores.)

254. Um retângulo ABCD está dividido, por paralelas aos lados, em 9 retângulos menores. Sabendo que os números na figura indicam as áreas dos retângulos correspondentes, provar que a área de ABCD é maior ou igual a 90.

Solução

Se x, y, z, w, t e s são as medidas dos segmentos indicados na figura, temos z = 9y e w = 3x. Além disso, de xy = 1 vem y = 1/x e, como st = 10, então A= área (ABCD) =

Ora, é a média aritmética dos números que tem média geométrica igual a

Como a média aritmética de dois números positivos é maior ou igual a sua média geométrica e vale a igualdade se e só se os números são iguais, temos A> 50 + 40 = 90 e A = 90 se e só se t = 2x.

(Solução enviada por Zoárd Geócze, MG.)

255. Na figura, ABCD é um quadrado, AOB é uma semicircunferência e X é um ponto do quadrado tal que XQ = XP, sendo XQ a distância de X ao lado BC, e P a intersecção de XA com a semicircunferência. Qual é o lugar geométrico desses pontos X, tais que XQ = XP ?