 |
|
|
||
 |
||||
|
|
|
|
||
|
|
||||
| Deborah Raphael Se a > b e b > c, então a > c. Tudo bem até aqui. Se o queijo A é melhor do que o queijo B e o queijo B é melhor do que o queijo C, então o queijo A é melhor do que o queijo C. De novo parece tudo bem: apesar de melhor não ser muito preciso, a frase anterior é o que esperamos a respeito de gostos e de queijos. Ou seja, esperamos que a propriedade transitiva seja verdadeira sempre que uma ordem está envolvida. O que mostraremos aqui é uma situação em que a transitividade não funciona. Temos três dados (diferentes), e o jogo é o mais simples possível. Dois jogadores escolhem um dado cada um e jogam. Aquele que obtém o maior número vence. Jogando A contra B, A tem mais chance de ganhar que B; em B versus C, B tem mais chance de ganhar. Nesse sentido, A é melhor do que B e B é melhor do que C. A grande surpresa é que quando jogam A e C, é C que tem mais chance de ganhar! Conclusão: A é melhor do que B, B é melhor do que C e C é melhor do que A! Vamos considerar um conjunto de três dados; em cada um deles as faces opostas são sempre iguais. Veja no esquema abaixo os dados planificados (as flechas partem do dado com maior probabilidade de ganhar).
Na tabela a seguir, indicamos, em cada casela, o vencedor para cada resultado possível em cada um dos três jogos: A x B, B x C e C x A. Aqui, P(#) denota a probabilidade de # vencer.
Uma forma interessante de explorar esses dados é desafiar seu oponente e deixar que ele escolha um dado. Em seguida você escolhe o seu dado; sempre há um dado melhor que o escolhido por seu oponente. Aqui também o senso comum falha: ser o segundo a escolher é uma vantagem. Mas lembre-se: a probabilidade está do seu lado, mas não necessariamente os anjos. Ou seja, mesmo escolhendo o melhor dado, você pode perder, mas, no longo prazo (várias jogadas), suas chances de ganhar crescem. Além dessa faceta não transitiva que desafia nosso senso comum, esses dados têm outra característica, digamos, inesperada. Vamos mudar o jogo: cada jogador toma agora dois dados iguais e joga os dois ao mesmo tempo. O vencedor é aquele que conseguir a maior soma. Por exemplo, suponhamos um jogo com dois dados A contra dois dados B(2A x 2B). O que você acha que vai acontecer? Naturalmente, você raciocina que, como A tem maior probabilidade de vencer do que B, então 2A terá maior probabilidade de vencer do que 2B. Pois é, isso não ocorre! Veja abaixo as possibilidades para o jogo 2A x 2B.
Das 81 jogadas possíveis, duas empatam. Temos que a probabilidade de 2A vencer é de 37/81, enquanto a probabilidade de 2B vencer é de 42/81. Portanto, é 2B que leva vantagem sobre 2A Fazendo os cálculos necessários para os outros jogos, vemos que a situação continua não transitiva, só que as flechas se invertem.
Você imagina o que acontece se fizermos 3A x 3B? Agora, a pergunta inevitável do matemático: e no caso geral nA x nB? Adianto que não sei a resposta à última pergunta.
Para terminar, deixamos aqui outro exemplo de dados não transitivos. Desta vez trata-se de um conjunto de 4 dados que foram concebidos pelo estatístico Bradley Efron justamente para ilustrar situações não transitivas.
Como anteriormente, as flechas partem do dado com maior probabilidade de vencer. Claro que D tem maior probabilidade de vencer do que A. Nos jogos A x B, B x C, C x D e D x A, a vantagem do vencedor é de 2 contra 1 (2/3 de probabilidade de vencer contra 1/3 de perder). Repare que no jogo B x D cada um tem 1/2 de probabilidade de vencer. O mesmo não ocorre em A x C. Um desafio interessante é o de inventar conjuntos de dados não transitivos. I. Peterson tem um artigo na Internet, [2], em que diversos exemplos são citados. No acervo da Matemateca, no Instituto de Matemática e Estatística da USP, há dois conjuntos de dados não transitivos que podem ser usados em sala de aula e oficinas. Para uma leitura sobre outras situações não transitivas igualmente surpreendentes, sugerimos o artigo [3], que aborda várias situações interessantes, inclusive eleições.
Referências e indicações bibliográficas [1] GARDNER, M. The colossal book of Mathematics. W. W. Norton, 2001.
|
|||||||||||||||||||||
Em 2B 
Uma curiosidade a respeito dos dados que mencionamos é que em todos eles, as faces somam 30 e os números que aparecem em cada um deles formam uma linha de um quadrado mágico que soma 15 nas linhas, colunas e diagonais. Aliás, as colunas desse quadrado mágico fornecem um outro conjunto de dados não transitivos.
