Escreve-nos um colega de Nova Friburgo, RJ, que propôs aos seus alunos um problema tirado do livro Análise Combinatória e Probabilidade, de Augusto César de Oliveira Morgado e outros, da Coleção Professor de Matemática, SBM. Trata-se do problema 22 (p. 48 da 1edição) e tem o seguinte enunciado: De quantas maneiras é possível colocar 6 anéis diferentes em 4 dedos?. Os alunos resolveram o problema por etapas, separando cada um dos modos de obter soma 6 com, no máximo, 4 parcelas e contando quantas seriam as possibilidades distintas em cada caso. Obtiveram o resultado como soma desses casos, que deu 60.480, a resposta do livro.

Conta o mestre que, duas semanas depois, foi procurado por um aluno que lhe disse ter resolvido o problema pelo cálculo do número de arranjos de 6 + 4–1 elementos tomados 6 a 6, Mais ainda, estudando vários outros casos, professor e alunos formularam a conjectura de que o número de maneiras de colocar p anéis em n dedos poderia ser calculado por Faltava provar.

RPM

A solução do problema proposto sai de uma adaptação do processo de cálculo das combinações completas, que se encontra no livro citado à página 43 dessa 1 edição. Colocados os anéis (que são diferentes) em fila: a₁, a₂, a₃, a₄, a₅, a₆, pode-se separá-los pelos dedos com traços verticais. Por exemplo,

a₁| a₂| a₃| a₄| a₅|, a₆,

significa que a₁ está no 1 dedo, a₂ e a₃ estão no 2 dedo (nessa ordem), a₄ e a₅, no 3 (nessa ordem) e a₆ no 4 dedo.

Percebe-se que:

1) bastam 3 traços para distribuir os anéis por 4 dedos;

2) com anéis diferentes, há que se considerar as diferentes permutações entre os anéis, mas não entre os traços, dos quais só importa a colocação.

Sendo  assim,  as  possibilidades  que  devem  ser contadas são as permutações dos 6 anéis + 3 ( = 4 – 1) traços, em que seja considerada a ordem dos anéis, mas não a ordem dos traços. Ou seja, o número de casos distintos a serem considerados é:

Agora, fica fácil ver que, no caso geral, de p anéis diferentes, a serem distribuídos por n dedos, consideramos a seqüência formada pelos p anéis e por n–1 traços (que distribuem os anéis em n blocos ordenados, cada um deles correspondendo aos anéis num dos dedos, em ordem, podendo haver dedos vazios). Tomando as permutações dos elementos dessa seqüência, sem distinguir aquelas em que os traços se permutam entre si, mantendo a posição, obtém-se o seguinte número de casos distintos:

Belo exemplo de problema e de ação do mestre!

Uma preocupação manifestada pelo leitor Nelson O. F. Correa é a identificação dos números naturais com os inteiros positivos e, como exemplo, dá a definição de multiplicação como uma soma de uma mesma parcela um certo número de vezes. Definição esta que perde o sentido no caso da multiplicação de números negativos. Considera que esse fato invalida a identificação dos inteiros positivos com os naturais e apresenta como um outro exemplo, que refletiria bem o que chama de incoerência dessa identificação, a necessidade de se convencionar que a raiz de índice par de um número deva ser sempre positiva. Conta que pensa nessa incoerência desde que leu que em potência de potência multiplicam-se os expoentes.

E levanta dúvida quanto ao valor da expressão que, se calculada de uma forma, daria 1/3 e, pelo produto dos expoentes, daria −1/3.

RPM

O leitor tem razão quando afirma que a expressão número de vezes não faz sentido quando esse número é negativo. Não faz sentido para qualquer

número real não natural. Com efeito, em o que seria somar ou π vezes? O fato é que, quando se generaliza algum conceito, usualmente, conservam-se algumas propriedades e perdem-se outras. Por isso, novas definições precisam ser apresentadas e suas propriedades precisam ser revistas no novo contexto. Algumas delas permanecem, outras deixam de valer.

Quanto às raízes, é preciso lembrar que qualquer número, positivo ou negativo, que elevado à potência n resulte A se diz uma raiz de ordem n de A. O símbolo é que indica só a raiz positiva. Então, no caso de A > 0 e n par, os números são, ambos, raízes n-ésimas de A. Assim, nesse contexto + 3 e − 3 são raízes quadradas de 9, mas o símbolo representa apenas o + 3. Quanto à propriedade do produto dos expoentes na potência de potência, ela é um exemplo do que dissemos acima: essa regra vale para potências com bases positivas, mas não se estende, em geral, para bases negativas. O valor da expressão acima é, de fato, 1/3, pois o cálculo deve ser feito diretamente, na ordem em que aparecem as potências. Não há incoerência porque a regra do produto dos expoentes não é válida para a base (–3), que é negativa.

Respostas dos ...probleminhas 1. 1 e 5. 2. Lobo 3 h e coruja 21 h. 3. 25374168.